第十二届泛珠三角物理竞赛力学基础试答案

第第第第12屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試答答答答案案案案(2016年2月18日)選擇題(20×2分)1234567891011121314151617181920CEDABFADDEBFBDFAECFA14.F=kx=(M+m)a⇒a=mMkx+⇒f=ma=kxmMm+.15.點A:Δr=45m=(4+0.5)λ,無聲;點B:Δr=−45m=−(4+0.5)λ,無聲.點P:Δr=|r−R|,最強聲音0≤Δr=|k|λ≤45m,|k|=0,1,2,….⇒0≤|k|≤4.5⇒k=−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4.n=9.16.θρsin,2BHAHgp==⊥,θρθρsin2sin22gBHBHHgApP=⋅==⊥.17.PCMRMRM×=×−+×)43(2)41(⇒PC=R67.18.IP=IO+MdP2=23MR2323−MR2=3245MR2.19.IP=IC+MdPC2,3245MR2=IC+43M(R67)2⇒IC=9637MR2.20.RgRgMRRgMImgL6222.0452832/45)6/7()4/3(22≈===ω.21(簡答題8分)若有需要,可使用三角恆等式sec2x=1+tan2x和微分公式d(sinx)=(cosx)dx,d(cosx)=(−sinx)dx.(1)設在時刻t,MA連線與正東方向的夾角為ϕ,則tanϕ=VtVtLVtxxyyAMAM−+−=−−5.102=tLV34.並且22222221699)3/4(11tan11costVLLLVt+=+=+=ϕϕ.)34()(tantLVdtddtd=ϕ⇒LVdtd34cos12=⋅ϕϕ⇒ϕϕω2cos34LVdtd===22216912tVLLV+=2)3/4()4/3(1tVVVL+.(2)L=80m,V=3m/s和t=10s.ω=25110)803/34()34/803(12=×××+××=0.4rad/s.22(簡答题10分)若有需要,可使用三角恆等式sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny.由機械能守恆定律,系統轉過α角時)3cos3sin4(1182−+=ααgLv.(1)當OA桿到達豎直位置時α=900，A球的速度118)390cos390sin4(11800gLgLv=−+=.(2)−+=−+=53)9.36sin(1140)53cos53sin54(114002αααgLgLv;當00909.36=+α,即α=53.10時，A球達到的最大速度vmax=114gL.(3)B小球上升到最大高度h時速度為零，此時4sinα+3cosα−3=0,即當OB桿轉動了角度α=106.30時,B球上升到(相對於其初始位置)最大高度)cos1(α−=Lh=1.28L.23(簡答題8分)若有需要,可使用微分公式d(xn)=nxn−1dx.(1)小車靜止時受電場力))(21(222xLxkQF−−=.平衡位置F=0⇒Lx)12(0−==0.41L.(2)在平衡位置x0處受到微小干擾x後回復力F=202202)(2)(xxLkQxxkQ−−−+⇒()xxLxLxxxxxLxLxxxkQF2)()(2)2(1)(2)(22100000200202−−−−+=−−−−+≈()300300)(2)(22xLxxLxxx−+−−−≈=xLxxLxxLxxLxxx33030302030202217242)(212)(4)(221+⋅−=−+−=−−−−−.MaxLkQF=+−=32)21724(⇒0)21724(32=++xMLkQa⇒固有頻率ω2=32)21724(MLkQ+,ω≈3293.6MLkQ.24(簡答題14分)(1)k=tRP2ρ，Hh=ξ和HhC=η.(a))()2(2)(2)2(22hRRHtPhhRHRHtPmMmxMXhCπρππρπ++=++==2))(2(1)()2(12HHhtRPHhtRP⋅++ρρ=2112Hkk⋅++ξξ,∴η=)1(212ξξkk++.(b)當η最小時,系統具有最佳穩度=ξηdd2222)1(122)1()1)(1()1)(1(21ξξξξξξξξkkkkkkkk+−+⋅=+′++−′++⋅.122−+ξξkk=0,kkkk+±−=−−±−=112)1(4)2(22ξ.當ξ=kk11−+,)11(1)11(1212minkkkkkk−++−++⋅=η=kk11−+.∴注入液體的高度h=Hkk11−+.(2)Ρ=2.5×103kg/m3,H=10m,R=5m,t=12.5cm;ρ=1×103kg/m3.參數125.025105.2101233×××==tRPkρ=8,系統具有最佳穩度41818111min=−+=−+==kkξη,注入液體高度h=系統重心C高度hC=ξH=2.5m.(3)ρair=1.5kg/m3,面積A=2RH=100m2.總重量W=(M+m)g=[Ρ(2πRHt)+ρ(πR2h)]g=)2(RhPHtRgρπ+.FwindhC≤WR⇒風力ρairAv2=Fwind≤)2(2RhPHtgRρπ+/hC=2.945×106N⇒風速v≤AFairwindρ/=140m/s.25(簡答題20分)(1)k=kC+1.(2)剛體繞溝渠A邊滾動至碰到B邊(a)之前瞬時角速度ωB−=)cos1(220θω−+kRg和之後瞬時的角速度ωB+=−BKω,其中K=kkCθ2cos+;滾過溝渠B邊之後在平面BQ上作純滾動的角速度ωBQ=)cos1(2)(2θω−−+kRgB.(b)剛體在溝渠A邊時一直保持與其無滑動接觸的最大初始角速度ω0max=−−)cos1(2cosθθkRg(c)能使剛體滾過溝渠B邊時的最小初始角速度ω0min=)11)(cos1(22−−KkRgθ.(d)要使(b)和(c)的條件都成立，角度θ必須滿足不等式f(θ)=(2+kK2)cosθ−2≥0.(3)設θ=300,及薄壁圓柱殼的kC=1和k=2;K=43.(a)最大初始角速度ω0max=Rg)13(−=0.8556Rg和最小初始角速度ω0min=Rg)231(97−=0.3228Rg.取ω0=ω0min時:ωB−=0.4880Rg,ωB+=0.3660Rg,ωBQ=0.(b)取ω0=ω0max時:ωB−=0.9306Rg,ωB+=0.6980Rg,ωBQ=0.3532Rg.(c)角度θ必須滿足不等式f(θ)≥0,其中f(θ)=,由此解得角θ的臨界值θ≤32.410.