利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)

利用隔板法巧解排列组合问题（共1页）1利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n个元素间，插入1b个板，把n个元素分成b组的方法。一、放球问题。例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C种不同方法。点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。二、指标分配问题。例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取615块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C种排法。由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C种不同分法。点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。三、求n项展开式的项数。例3、求10125xxx展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10,用5个标有1x、2x、、5x的5个不同的盒子表示数1x、2x、、5x，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有ix125i，，，的每个盒子得到的小球数ik125iikN，，，，，记作ix的ik次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取514块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。由隔板法知，在14利用隔板法巧解排列组合问题（共1页）2个位置中任取4个位置排上隔板，有414C种排法。故10125xxx的展开式中共有4141001C项。四、求n元一次方程组的非负整数解。例4、求方程1257xxx的正整数解的个数。解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有1x、2x、、5x的5个不同的盒子表示均不能为0的正整数未知数1x、2x、、5x。要得到方程1257xxx的正整数解的个数，分两步。第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。取514块相同隔板，连同2个相同小球排成一排，共6个位置。由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有46C种排法。由分步计数原理知：共有46C种放法。我们把标有ix125i，，，的每个盒子得到的小球数ik125iikN，，，，，记作：iixk。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1257xxx的每一组解125kkk，，，。所以，方程1257xxx的正整数解共有4615C个。例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1257xxx的非负（或正）整数解的个数的理论依据。