2013年高考文科数学全国大纲卷卷word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则UA＝()．A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5}D．答案：B解析：由题意得UA＝{3,4,5}．故选B．2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()．A．1213B．513C．513D．1213答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝225121sin11313.故选A．3．(2013大纲全国，文3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()．A．－4B．－3C．－2D．－1答案：B解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝0.∴|m|2－|n|2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.∴λ＝－3.故选B．4．(2013大纲全国，文4)不等式|x2－2|＜2的解集是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)答案：D解析：|x2－2|＜2⇒－2＜x2－2＜2⇒0＜x2＜4⇒0＜|x|＜2⇒－2＜x＜0或0＜x＜2.故选D．5．(2013大纲全国，文5)(x＋2)8的展开式中x6的系数是()．A．28B．56C．112D．224答案：C解析：T2＋1＝28Cx8－2·22＝112x6.故选C．6．(2013大纲全国，文6)函数f(x)＝21log1x(x＞0)的反函数f－1(x)＝()．A．121x(x＞0)B．121x(x≠0)C．2x－1(x∈R)D．2x－1(x＞0)答案：A解析：由y＝f(x)＝21log1x⇒1＋1x＝2y⇒x＝121y.∵x＞0，∴y＞0.∴f－1(x)＝121x(x＞0)．故选A．7．(2013大纲全国，文7)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，243a，则{an}的前10项和等于()．A．－6(1－3－10)B．19(1－310)2C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)答案：C解析：∵3an＋1＋an＝0⇒an＋1＝13an，∴{an}是以13为公比的等比数列．又∵a2＝43，∴a1＝4.∴S10＝101413113＝3(1－3－10)．故选C．8．(2013大纲全国，文8)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()．A．22x＋y2＝1B．22132xyC．22143xyD．22154xy答案：C解析：如图，|AF2|＝12|AB|＝32，|F1F2|＝2，由椭圆定义得|AF1|＝2a－32.①在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝232＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的方程为22143xy，应选C．9．(2013大纲全国，文9)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝()．A．5B．4C．3D．2答案：B解析：∵由题中图象可知x0＋π4－x0＝2T.∴π2T.∴2ππ2.∴ω＝4.故选B．310．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()．A．9B．6C．－9D．－6答案：D解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．23B．33C．23D．13答案：A解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵CH平面ACC1A1，∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．OC1＝222123422CCOC.由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，∴32222CH.∴CH＝23.∴sin∠CDH＝22313CHCD.故选A．12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()．A．12B．22C．2D．2答案：D解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得：4k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴x1＋x2＝2248kk，x1x2＝4.(*)∵MA·MB＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.①∵11222,2,ykxykx∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)，②y1·y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]．③由(*)及①②③得k＝2.故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝______.答案：－1解析：∵f(x)是以2为周期的函数，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C种可能的结果；第二步，二等奖有25C种可能的结果；第三步，三等奖有33C种可能的结果．故共有123653CCC60(种)可能的结果．15．(2013大纲全国，文15)若x，y满足约束条件0,34,34,xxyxy则z＝－x＋y的最小值为______．答案：0解析：z＝－x＋y⇒y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z在y轴上的截距，截距越小，z就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin＝0.16．(2013大纲全国，文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于______．答案：16π解析：如图，设MN为公共弦，长度为R，E为MN中点，连结OE，EK，则OE⊥MN，KE⊥MN.∴∠OEK为圆O与圆K所在平面的二面角．∴∠OEK＝60°.又△OMN为正三角形，∴OE＝32R.∵OK＝32，且OK⊥KE，5∴OE·sin60°＝32.∴333222R.∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设1nnbna，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为71994,2,aaa所以11164,1828.adadad解得a1＝1，12d.所以{an}的通项公式为12nna.(2)因为22211nbnnnn，所以2222222122311nnSnnn.18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝314，求C．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝222122acbac，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝131+2246＝32，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD．因此PB⊥CD．(2)解：取PD的中点F，连结OF，则OF∥PB．由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD．又OD＝12BD＝2，OP＝222PDOD，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD．又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD．因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD．因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝12PB＝1，所以A到平面PCD的距离为1.20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，7B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝1B·B3＋B1·B2·3B＋B1·2B.P(B)＝P(1B·B3＋B1·B2·3B＋B1·2B)＝P(1B·B3)＋P(B1·B2·3B)＋P(B1·2B)＝P(1B)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(3B)＋P(B1)P(2B)＝111484＝58.21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当2a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)当2a时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得121x，221x.当x∈(－∞，21)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，21)是增函数；当x∈(21，21)时，f′(x)＜0，f(x)在(21，21)是减函数；当x∈(21，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(21，＋∞)是增函数．(2)由f(2)≥0得54a.当54a，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥25312xx＝312x(x－2)＞0，所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上