高中立体几何定理及性质

1高中立体几何定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。我们说：直线在平面内或：平面经过直线AlBlABABlPPl①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的③可以用来判定点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）PlPl①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线。公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面简单的说，不共线的三点，确定一个平面确定一个平面不共线CBACBA,,,,CAB直线存在唯一的平面,ABC使得可以用来确定一个平面用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面Aa直线存在唯一的平面,Aa使得2推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面baba,使，有且只有一个平面∥公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。∥∥ababa线线平行推线面平行（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。baabb∥∥线面平行推线线平行（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.∥∥∥baObaba线面平行推面面平行3（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。∥OOOO线面垂直推面面平行（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。baba∥∥面面平行推线线平行（7）面面平行的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。∥∥aa面面平行推线面平行（8）面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。ll∥（9）面面平行的性质平行于同一个平面的两个平面平行。∥∥∥三、垂直关系文字语言符号语言图像语言作用（10）三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直POaaAOaOPOPA（11）三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.AOaaPOaOPOPA4（12）线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。lnmBnmnlml线线垂直推线面垂直（13）线面垂直的判定如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面baba∥线线平行推线面垂直（14）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。baba∥线面垂直推线线垂直、平行（15）线面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线llaa⊥⊥线面垂直推线线垂直（16）面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。ABAB线面垂直推面面垂直（17）面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。ABABCDABCD面面垂直推线面垂直la56其他定理文字语言符号语言图像语言作用等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等''''ABABACAC∥∥'''BACBAC判定两个角相等（或互补）的依据最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有21coscoscos（其中21,,如图中所示）ABC'A'B'C'