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_3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中,直线l经过点P.问题1:直线l的位置能够确定吗?提示:不能.问题2:过点P可以作与l相交的直线多少条?提示:无数条.问题3:上述问题中的所有直线有什么区别?提示:倾斜程度不同.[导入新知]1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.如图所示,直线l的倾斜角是∠APx,直线l′的倾斜角是∠BPx.2.倾斜角的范围:直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3.倾斜角与直线形状的关系倾斜角α=0°0°α90°α=90°90°α180°直线[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件:①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角.(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度.(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中,常用坡度(坡度=升高量前进量)表示倾斜程度,例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更陡一些,因为坡度32>22.问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度?提示:可以.问题2:由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量?提示:可以.问题3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系?提示:与倾斜角的正切值相等.[导入新知]1.斜率的定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tan_α.2.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.3.斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.[化解疑难]1.倾斜角α与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;当90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大.2.斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,就是说,如果分子是y2-y1,分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即k=y1-y2x1-x2=y2-y1x2-x1.(2)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步;二用,就是将点的坐标代入斜率公式;三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.[例1](1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°(2)下列说法中,正确的是()A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanαB.直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α,则sinα>0D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tanα[解析](1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.(2)对于A,当α=90°时,直线的斜率不存在,故不正确;对于B,虽然直线的斜率为tanα,但只有0°≤α<180°时,α才是此直线的倾斜角,故不正确;对于C,当直线平行于x轴时,α=0°,sinα=0,故C不正确,故选D.[答案](1)D(2)D[类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.[活学活用]1.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.[0°,90°)B.[90°,180°)C.(90°,180°)D.(0°,180°)解析:选C直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是(90°,180°).2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°解析:选D当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°.当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°,故应选D.[例2](1)已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y=________;(2)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为________;(3)已知过A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为1,则m的值为________.[解析](1)直线AB的斜率k=tan135°=-1,又k=-3-y2-4,由-3-y2-4=-1,得y=-5.(2)由斜率公式k=4-mm+2=1,得m=1.(3)当m=3时,直线AB平行于y轴,斜率不存在.当m≠3时,k=-2-1m-3=-3m-3=1,解得m=0.[答案](1)-5(2)1(3)0[类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.[活学活用]3.(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:选A设直线的倾斜角为α,直线斜率k=2+3-24-1=33,∴tanα=33.又∵0°≤α<180°,∴α=30°.[例3]已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求yx的最大值和最小值.[解]如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).由于yx的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=23,所以可求得yx的最大值为2,最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征,看是否可以写成y2-y1x2-x1的形式,若能,则联想其几何意义(即直线的斜率),再利用图形的直观性来分析解决问题.[活学活用]4.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求y+1x+1的取值范围.解:y+1x+1=y--1x--1的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],∴设该线段为AB且A(2,4),B(5,-2).∵kNA=53,kNB=-16,∴-16≤y+1x+1≤53.∴y+1x+1的取值范围为[-16,53].[典例]已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则l的倾斜角的取值范围________;直线l的斜率k的取值范围________.[解析]如图,由题意可知kPA=4-0-3-1=-1,kPB=2-03-1=1,则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°;要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.[答案]45°≤α≤135°k≤-1或k≥1[易错防范]1.本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间,要特别注意,当l的倾斜角小于90°时,有k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,则有k≤kPA.2.如图,过点P的直线l与直线段AB相交时,因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在,而PC所在的直线与线段AB不相交,所以满足题意的斜率夹在中间,即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时,可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边.[成功破障]已知直线l过点P(3,4),且与以A(-1,0),B(2,1)为端点的线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.解:∵直线PA的斜率kPA=4-03--1=1,直线PB的斜率kPB=4-13-2=3,∴要使直线l与线段AB有公共点,k的取值范围为[1,3].[随堂即时演练]1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是()A.任一直线都有倾斜角,都存在斜率B.倾斜角为135°的直线的斜率为1C.若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanαD.直线斜率的取值范围是(-∞,+∞)解析:选D任一直线都有倾斜角,但当倾斜角为90°时,斜率不存在.所以A、C错误;倾斜角为135°的直线的斜率为-1,所以B错误;只有D正确.2.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.7解析:选C由斜率公式可得8-mm-5=1,解之得m=132.3.直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为________.解析:kl=1-0-1-0=-1,因此倾斜角为135°.答案:135°4.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,实数a的值为________.解析:∵A、B、C三点共线,∴kAB=kBC,即53-a=9a+75,∴a=2或29.答案:2或295.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.解:由题意直线AC的斜率存在,即m≠-1.∴kAC=-m+3-4m+1,kBC=m-1-42--1.∴-m+3-4m+1=3·m-1-42--1.整理得:-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)=0,∴m=4或m=-1(舍去).∴m=4.[课时达标检测]一、选择题1.给出下列说法,正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;②一条直线的倾斜角为-30°;③倾斜角为0°的直线只有一条;④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系.A.0B.1C.2D.3解析:选A若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,①错;直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),②错;所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°,③错;不同的直线可以有相同的倾斜角,④错.2.过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y=()A.-32B.32C.-1D.1解析:选Ctan45°=kAB=y+34-2,即y+34-2=1,所以y=-1.3.如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为()A.k1<k2<k3B.k1<k3<k2C.k2<k1<k3D.k3<k2<k1解析:选A根据“斜率越大,直线的倾斜程度越大”可知选项A正确.4.经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是()A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.m>1或m<-1解析:选C∵直线l的倾斜角为锐角,∴斜率k=m2-11-2>0,∴-1<m<1.5.(2012·广州高一检测)如果直线l过点(1,2),且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是()A.[0,1]B.[0,2]C.0,12D
本文标题:倾斜角与斜率完美版
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