初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)

第1页（共29页）初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)一．选择题（共16小题）1．若关于x的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1的解为负数，则k的值为（）A．k＞B．k＜C．k=D．k＞且k≠22．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．A．1B．2C．3D．43．关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（）A．B．C．a≤且a≠3D．4．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0B．1C．2000D．40000005．若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜47．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）其中是关于x的分式方程的有（）A．（1）B．（2）C．（2）（3）D．（2）（4）8．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）第2页（共29页）A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠09．若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（）A．3≤m＜4B．3＜m＜4C．3＜m≤4D．3≤m≤410．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，则该同学家这一年的用水量为（）某市居民用水阶梯水价表阶梯户年用水量v（m3）水价（元/m3）第一阶梯0≤v≤1805第二阶梯180＜v≤2607第三阶梯v＞2609A．250m3B．270m3C．290m3D．310m311．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（）A．B．C．D．12．方程3x+y=9在正整数范围内的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．有无数个13．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（）A．p=﹣2，q=5B．p=﹣2，q=3C．p=2，q=5D．p=2，q=314．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）第3页（共29页）A．B．C．D．15．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（）A．=﹣5B．=+5C．=8x﹣5D．=8x+516．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3二．填空题（共14小题）17．对于实数x，规定（xn）′=nxn﹣1，若（x2）′=﹣2，则x=．18．销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是元．19．若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x=，y=．20．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．21．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．22．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．23．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．24．若m是实数，则关于x的方程x2﹣mx++m+=0的根的情况是．25．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．26．数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣=﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有第4页（共29页）一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是．27．若不等式组有解，则a的取值范围是．28．如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为．29．在一次数学知识竞赛中，竞赛题共30题．规定：答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于60分者得奖．得奖者至少应答对道题．30．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是．三．解答题（共10小题）31．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为；若乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．32．解方程组．33．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？34．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．35．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a，b均为非零第5页（共29页）常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b，已知T（1，1）=2.5，T（4，﹣2）=4．（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．36．已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．37．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．38．某养鸡厂计划购买甲、乙两种鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元．（1）若购买不超过4700元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？（2）相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和99%，若要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购买小鸡苗的总费用最低，应购买甲、乙两种小鸡各多少只？最少费用是多少元？39．为了相应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．（1）求m的值；（2）若这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．40．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．第6页（共29页）初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2015春•蓬溪县校级月考）若关于x的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1的解为负数，则k的值为（）A．k＞B．k＜C．k=D．k＞且k≠2【分析】本题首先要解这个关于x的方程，根据解是负数，可以得到一个关于k的不等式，就可以求出k的范围．【解答】解：x﹣3k=5（x﹣k）+1，根据题意得，解得k＜；故选B．【点评】本题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x的不等式是本题的一个难点．2．（2014春•文登市校级期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．A．1B．2C．3D．4【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解答】解：第7页（共29页）①xy+2x﹣y=7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；②4x+1=x﹣y，是二元一次方程；③+y=5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；④x=y是二元一次方程；⑤x2﹣y2=2不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；⑥6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；⑦x+y+z=1，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣y=x．故选C．【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．3．（2013•海拉尔区校级三模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（）A．B．C．a≤且a≠3D．【分析】讨论：当a﹣3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△=（﹣）2﹣4×（a﹣3）×1≥0，然后综合这两种情况即可．【解答】解：当a﹣3=0，方程变形为﹣x+1=0，此方程为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△=（﹣）2﹣4×（a﹣3）×1≥0，解得a≤且a≠3．所以a的取值范围为a≤且a≠3．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．第8页（共29页）4．（2009•桂平市二模）设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0B．1C．2000D．4000000【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，∴α+β=﹣9，α•β=1．（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）又∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，∴α2+9α+1=0，β2+9β+1=0．∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）=2000α•2000β=2000×2000αβ，而α•β=1，∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）=4000000．故选D．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（1999•烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．【解答】解：∵x2+（a﹣b）x+c2=0，第9页（共29页）∴△=b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）∵a，b，c为三角形三边，∴b+c＞a，a+c＞b∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，即二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．6．（2014•德阳）已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3B．