微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案1常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解1.dyxydx分离变量dyxdxy，22xyCe，C为任意常数22.10xydxxdy分离变量21dyxdxyx，21xyCe，C任意常数3.ln0xyyy分离变量1lndydxyyx，xyCe224.()()0xyxdxxyydy分离变量2211ydyxdxyx，22(1)(1)yxC25.(25)dyxydx令25uxy则2dudydxdx，22dudxu，11arctan22uxC6.dyxydxxy，原方程变为11ydyxydxx，令yux，dyduuxdxdx，代入得22111ududxux2arctanlnuuxC，yux回代得通解2arctanlnyyxCxx227.0xyyxy方程变形为210dyyydxxx，令yux，代入得21dudxxuarctanlnuxC，yux回代得通解arctanlnyyxCxx8.lndyyxydxx，方程变形为lndyyydxxx，令yux，(ln1)dudxuux，1Cxue，1Cxyxe9.24dyxyxdx，一阶线性公式法222(4)2xdxxdxxyexedxCCe210.2dyyxdxx,一阶线性公式法1123(2)dxdxxxyexedxCxCx2211.(1)24xyxyx，方程变形为2222411xxyyxx一阶线性公式法3214()13yxCx常微分方程基础练习题答案2212.(6)20dyyxydx，方程变形为312dxxydyy一阶线性公式法2312yyCy213.3yxyxy，方程变形为2113dyxxydxy伯努利方程，令12,dzdyzyydxdx代入方程得3dzxzxdx一阶线性公式法再将z回代得232113xCey41114.(12)33dyyxydx，方程变形为431111(12)33dyxydxy伯努利方程，令34,3dzdyzyydxdx代入方程得21dzzxdx，一阶线性公式法再将z回代得3121xCexy15.560yyy，特征方程为2560rr，特征根为122,3rr，通解2312xxyCeCe16.162490yyy，特征方程为2162490rr，特征根为1,234r，通解3412()xyCCxe17.0yy，特征方程为20rr，特征根为120,1rr，通解12xyCCe18.450yyy，特征方程为2450rr，特征根为122,2riri，通解212(cossin)xyeCxCx219.()0xydxxdy，全微分方程2()0xdxydxxdy，3()03xddxy，通解33xxyC320.()()0xydxxydy，全微分方程3()0xdxydxxdyydy，42()042xyddxyd，通解4242xyxyC常微分方程基础练习题答案32221.()(2)0xydxxyydy全微分方程22(2)0xdxydxxydyydy，322()032xyddxyd，通解32232xyxyC22.(coscos)sinsin0xyxyyxy，全微分方程(cossin)(cossin)0xydyydxxdyyxdx，(sin)(cos)0dxydyx，通解sincosxyyxC2223.(3)(2)xydxxyxdyC，22320xdxxydyydxxdy，积分因子21x，方程变为2320ydxxdydxydyx，230ydxdydx，通解23yxyCx2224.()xdxydyxydx，积分因子221xy，方程变为220xdxydydxxy，221[ln()]02dxydx通解221ln()2xyxC2225.()0xyydxxdy，22()0xydxydxxdy，积分因子221xy，方程变为220ydxxdydxxy，arctan0xdxdy，通解arctanxxCy326.sinxyex，可降阶()()nyfx型，逐次积分得通解3121sin9xyexCxC227.1yy，可降阶令()pxy，原方程化为21pp可分离变量型，得1tan()ypxC，积分得通解12lncos()yxCC28.yyx，可降阶(,)yfxy型，令()pxy，原方程化为ppx，一阶线性非齐次公式法得11xypCex，积分得通解21212xyCexxC常微分方程基础练习题答案4329.yyy，可降阶(,)yfyy型，令(),dppyyypdy，原方程化为3dppppdy即2[(1)]0dpppdy，0p是方程的一个解，由2(1)0dppdy得1arctanpyC即1tan()ypyC，通解为21arcsinxCyeC30.24xyyyxe，二阶常系数非齐次()()xmfxePx型，1是特征方程2210的重根，对应齐次方程的通解为12()xYCCxe，设特解为*2()xyxaxbe，代入方程得(62)4xxaxbexe，得2,03ab，故原方程的特解为*323xyxe，原方程通解为3122()3xxyCCxexe231.xyaye，二阶常系数非齐次()()xmfxePx型，特征方程220ra，特征值为1,2rai，对应齐次方程的通解为12cossinYCaxCax，1不是特征根，设原方程特解为*xyAe，代入方程得2xxxAeaAee，得211Aa则*21xeya，原方程通解为122cossin1xeyCaxCaxa32.cosyyxx，对应齐次方程的通解为12cossinYCxCx，设yyx的一个特解为1yAxB代入此方程得1,0AB，故1yx；设cosyyx的一个特解为2cossinyExxDxx代入此方程得10,2ED，故21sin2yxx；原方程通解为121cossinsin2YCxCxxxx33.69cosxyyyex，特征方程2690rr，特征值为1,23r，对应齐次方程的通解为3312xxYCeCxe，1i不是特征根，原方程特解设为*(cossin)xyeaxbx代入方程得34,2525ab，则*34(cossin)2525xyexx，原方程通解为常微分方程基础练习题答案5331234(cossin)2525xxxYCeCxeexx34.已知3222123,,xxxxxyexeyexeyxe是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y（）答案：3212xxxyCeCexe，31323,xxyyeyye是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数212xxxyCeCexe满足的一个微分方程是（）()23xAyyyxe()23xByyye()23xCyyyxe()23xDyyye解析：特征根为121,2，则特征方程为(1)(2)0即220，故对应齐次方程为20yyy；*xyxe为原方程的一个特解，1,为单根，故原方程右端非齐次项应具有()xfxCe的形式。36.微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为（）答案：215yxx，提示：一阶线性微分方程满足下列微分方程初始条件的特解037.0,011xxydxdyyyx，分离变量(1)(1)yydyxxdx，通解为23222323yyxxC，由00xy得0C，所求特解为23222323yyxx138.,2xxyyyyx，令yux则原方程化为dxudux得21ln2uxC，将u回代得通解为222(ln)yxxC由12xy得2C，所求特解为222(ln2)yxx0039.325,1,2xxyyyyy，特征方程2320rr特征根为121,2rr，对应齐次方程的通解为212xxYCeCe，*52y为非齐次的一个特解，故原方程的通解为常微分方程基础练习题答案621252xxyCeCe；由初始条件得121251222CCCC解得1275,2CC，故所求特解为275522xxyee0040.4,0,1xxxyyxeyy，特征方程210r特征根为121,1rr，对应齐次方程的通解为12xxYCeCe，1是特征方程的单根，故原方程的特解设为*()xyxeAxB代入原方程得(422)4xxeAxABxxe比较系数得1,1AB，从而*(1)xyxex，因此原方程的通解为12(1)xxxyCeCexex，由初始条件得1212011CCCC解得121,1CC，故所求特解为(1)xxxyeexex