(03214746秦泽天)14-15-2几何与代数数学实验

14-15-2《几何与代数》数学实验报告学号：03214746姓名：秦泽天得分：.要求：报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果，用4A纸打印．并在第15周之前交给任课老师。实验一：利用MATLAB用三种不同的方法求解线性方程组Axb。其中，常数项列向量b的分量是你的学号，系数矩阵为1100000012100000013100000014100000015100000016100000017100000018A方法一：利用Cramer法则求解；方法二：作为矩阵方程求解；方法三：利用Gauss消元法求解。实验二：“eigshow”是Matlab中平面线性变换的演示函数。对于22矩阵A，键入eigshow（A），分别显示不同的单位向量x及经变换后的向量yAx。用鼠标拖动x旋转，可以使x产生一个单位圆，并显示Ax所产生的轨迹。分别对矩阵10201231312,,,,10321232303ABCDM，考察单位向量x变化时，变换后所得向量的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。（1）问：x和y会不会在同一直线上？如果x和y在同一直线上，它们的长度之比是多少？（2）对哪些矩阵，x和y的轨迹有公共交点？（3）对哪些矩阵，x和y的转向相同，哪些相反？（4）你还发现什么有什么规律？（5）你能用代数知识解释这些现象吗？实验一：利用MATLAB用三种不同的方法求解线性方程组Axb。其中，常数项列向量b的分量是你的学号，系数矩阵为1100000012100000013100000014100000015100000016100000017100000018A方法一：利用Cramer法则求解；方法二：作为矩阵方程求解；方法三：利用Gauss消元法求解。方法一：利用Cramer法则求解：程序：a_1=[1;1;0;0;0;0;0;0];a_2=[1;2;1;0;0;0;0;0];a_3=[0;1;3;1;0;0;0;0];a_4=[0;0;1;4;1;0;0;0];a_5=[0;0;0;1;5;1;0;0];a_6=[0;0;0;0;1;6;1;0];a_7=[0;0;0;0;0;1;7;1];a_8=[0;0;0;0;0;0;1;8];b=[0;3;2;1;4;7;4;6];D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5,a_6,a_7,a_8]);D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b,a_6,a_7,a_8]);D_6=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,b,a_7,a_8]);D_7=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,b,a_8]);D_8=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,b]);x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;x_5=D_5/D;x_6=D_6/D;x_7=D_7/D;x_8=D_8/D;formatrat,X=[x_1;x_2;x_3;x_4;x_5;x_6;x_7;x_8]运行结果：X=-2415/6642415/664-932/1463401/1463113/209136/133474/14631038/1463方法二：作为矩阵方程求解：程序：A=[11000000;12100000;01310000;00141000;00015100;00001610;00000171;00000018];B=[0;3;2;1;4;7;4;6];X=A\B运行结果：X=-2415/6642415/664-932/1463401/1463113/209136/133474/14631038/1463方法三：利用Gauss消元法求解：程序：formatrat;A=[110000000;121000003;013100002;001410001;000151004;000016107;000001714;000000186];rref(A)运行结果：ans=10000000-491/13501000000491/13500100000-86/1350001000091/33200001000113/20900000100136/13300000010104/32100000001127/179思考探究：我们发现，利用Cramer法则和作为矩阵方程求解与利用Gauss消元法求解得出来的答案有所不同。这是由于他们自身中包含的算法不同而引起的。上图是关于rref函数的描述，从中我们可以看到，此种算法是矩阵的一种行列转化。在计算过程是是近似的生成结果。相较而言，解矩阵方程，直接求解较为方便和准确。实验二：“eigshow”是Matlab中平面线性变换的演示函数。对于22矩阵A，键入eigshow（A），分别显示不同的单位向量x及经变换后的向量yAx。用鼠标拖动x旋转，可以使x产生一个单位圆，并显示Ax所产生的轨迹。分别对矩阵10201231312,,,,10321232303ABCDM，考察单位向量x变化时，变换后所得向量的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。（1）问：x和y会不会在同一直线上？如果x和y在同一直线上，它们的长度之比是多少？（2）对哪些矩阵，x和y的轨迹有公共交点？（3）对哪些矩阵，x和y的转向相同，哪些相反？（4）你还发现什么有什么规律？（5）你能用代数知识解释这些现象吗？矩阵A：矩阵B：矩阵C：矩阵D：矩阵M：思考探究：（1）x和y会在同一直线上。对于矩阵A，长度比为1:2（或1:3）；对于矩阵B，长度比为1:2（或1:3）；对于矩阵C，长度比为1:3（或1:1）；对于矩阵D，长度比为408:1801（或985:1562）；而矩阵M，x和y不会共线。发现的规律：假设长度之比为1：λ，运行语句eig（）。得出结果。例如：eig（A）=(23)T，则比值就为1:2或者1:3.代数解释：假设（矩阵A）长度之比为1：λ时，把x当做单位向量，计算矩阵A的特征值，两者绝对值之比即为x与Ax的长度之比。或者（矩阵C）.1xy时，22ba当；3xy时，22ba当是单位向量x，ba2，2baxy，b，ax设C（2）矩阵C。发现的规律：4141324321432143211bbaaba相交y和x，，ba，baxy，b，ax设MM（3）转向相同的矩阵：A、B、D、M；转向不同的矩阵：C。发现的规律：当矩阵的行列式＞0的时候，转向相同；当矩阵的行列式＜0的时候，转向相反。（4）①对于eigshow，只能运行二阶方阵。②对于行列式为零二阶方阵Y的图像会是一条直线。例如：A=[11;11]。（5）每个问题的代数解释已附在相应的题号之后。实验之后的总结：在MATLAB的实验报告中，发现了自己对今后可能要用到的软件的不熟悉和不了解，没能够深入的去研究MATLAB的源程序。在今后，还要下功夫去在这方面充实自己。这次的实验报告，也有不够严谨的地方，依赖于自身知识储备不足。还请老师指导。