(04)_第2章_序列的傅立叶变换与z变换-zong

第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换第2章序列的傅立叶变换与Z变换（34）2.1序列的傅里叶变换（9）2.2傅里叶变换的对称性质（2）2.3序列的Z变换（3）2.4Z反变换（3）2.5Z变换的基本性质和定理（12）2.6序列的Z变换与连续信号的拉氏变换及傅里叶变换的关系（1）2.7系统离散的频率特性（4）第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.3序列的Z变换2.3序列的Z变换（3）2.3.1Z变换的定义2.3.2Z变换的收敛域2.3.3不同形式序列Z变换的收敛域1.有限长序列2.右序列3.左序列4.双边序列第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.3序列的Z变换2.3.1Z变换的定义双边Z变换:序列x(n)的双边Z变换定义为()()nnXzxnz(2.3.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。0()()nnXzxnz(2.3.2)单边Z变换：第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.3.2Z变换的收敛域Z变换存在的条件:(2.3.1)式等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2.3.3)nnznx第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换图2.3.1Z变换的收敛域收敛域（ROC：regionofconvergence）:使(2.3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示xxRzR第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示X(z)的零点:分子多项式P(z)的根;X(z)的极点分母多项式Q(z)的根;在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。()()()PzXzQz第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换FT和ZT之间的关系:对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到下式式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。()()jjzeXeXz(2.3.4)第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.3.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：0()()nnnnXzunzz11()1Xzz|z|1傅里叶变换存在Z变换存在傅里叶变换不存在Z变换存在一定收敛域X(z)存在的条件是|z-1|1，因此收敛域为|z|1，由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在（但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来）。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.3.3不同形式序列Z变换的收敛域1.有限长序列2.右序列3.左序列4.双边序列序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换如序列x(n)满足下式：x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。1.有限长序列第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换其Z变换为21()()nnnnXzxnz设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括∞点；如n20，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10，n2≤0时，0≤z＜∞n10，n20时，0z＜∞n1≥0，n20时，0z≤∞第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：1101()()1NNnnNnnzXzRnzzz这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z≤∞。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.右序列右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|＜∞。0111)(nnnnnnnnznxznxznxzX第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|∞。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|≤∞。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|1，因此收敛域为|z||a|。101011)(azazzaznuazXnnnnnnnn第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为2210)()(nnnnnnnnznxznxznxzX第二项为有限长序列，其收敛域为有z平面。第一项其收敛域为0|z|Rx+，Rx+是第一项最大的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为0|z|Rx+。若n20，没有第二项，收敛域为|z|Rx+第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。解：11()(1)nnnnnnnnnXzaunzazazX(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z||a|111111)(azzazazX第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为01)()(nnnnnnznxznxznxzXX(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.3.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：101101101111)()()(azazazazazazazzazazazXnnnnnnnnnnnnnnnnn第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换第一部分收敛域为|az|1，得|z||a|-1，第二部分收敛域为|az-1|1，得到|z||a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a||z||a|-1，其Z变换如下式：1211()111,(1)(1)azXzazazaazaz|a||z||a|-1如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.3.2所示。第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换图2.3.2例2.3.5图第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.4Z反变换已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及其逆Z变换表示如下：(2.4.1)),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX求Z反变换的方法：1.用留数定理求逆Z变换2.幂级数法(长除法)3.部分分式展开法第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换1.用留数定理求逆Z变换如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理(2.4.2)式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。1Re[(),]nksXzzzkkncnzzzXsdzzzXjnx],)([Re)(21)(11第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换由(2.4.4)式表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。如果zk是单阶极点，则根据留数定理如果zk是N阶极点，则根据留数定理11111Re[(),][()()](1)!kNnNnkkzzNdsXzzzzzXzzNdz(2.4.4)11Re[(),]()()knnkkzzsXzzzzzXzz(2.4.3)第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换设被积函数用F(z)表示，即F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示，N=N1+N2。根据留数辅助定理下式成立：121211Re[(),]Re[(),]NNkkkksFzzsFzz(2.4.5)注意(2.4.5)式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。1()()nFzXzz第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。(2.4.5)式成立的条件是N-M-n+1≥2因此要求N-M-n≥1(2.4.6)如果(2.4.6)式满足,c圆内极点中有多阶极点，而c圆外极点没有多阶的，可以按照(2.4.5)式，改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。图2.4.1围线积分路径第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.4.1已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。azzzazzFdzzazjdzzzXjnxnncncn1111111)1()()1(21)(21)(分析：为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，当n0,有二个极点：一阶极点z=a,一个n阶极点z=0。n≥0时，n=0不是极点,仅有一阶极点z=a。因此分成n≥0和n0两种情况求x(n)。图2.4.2例2.4.1中n0时F(z)极点分布第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换n≥0时，()Re[(),]()nzanxnsFzazzazaan0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查N-M-n≥1是否满足，此处n0，只要N-M≥0即可。本题中N=1，M=1，N-M=0，因此改求围线外极点留数。由于围线外没有极点，因此n0,x(n)=0.所以x(n)=anu(n)第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换例2.4.2已知，求其逆变换x(n)。211(),1(1)(1)aXzaazaz解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.4.3所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z||a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a||z||a-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z||a|，对应的x(n)是左序列。图2.4.3例2.4.2X(z)极点分布图第四讲第2章序列的傅立叶变换与Z变换下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z||a-1|211211()(1)(1)1()()nnaFzzazazazazaza