2010级线性代数练习册参考答案练习册一解答

太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第1页一.判断题（正确打√，错误打×）1.n阶行列式ija的展开式中含有11a的项数为1n.(×)正确答案：)!(n解答：方法1因为含有11a的项的一般形式是nnjjaaa，其中njjj是n级全排列的全体，所以共有)!(n项.方法2由行列式展开定理nnnnnnaaaaaaaaannAaAaAa111111，而nnAaAa1111中不再含有a，而11A共有)!(n项，所以含有11a的项数是)!(n.注意：含有任何元素ija的项数都是)!(n.2.若n阶行列式ija中每行元素之和均为零，则ija等于零.(√)解答：将nnnnnnaaaaaaaaa中的n、、、32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ija等于零.3.332244114433221100000000abbaabbaababbaba.(√)解答：方法1按第一列展开太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第2页abbaabbaabbabbaaabbabbabbaaaababbaba)(.方法2交换2，4列，再交换2，4行abbaabbaabbaabbaababbaba=abbaabba.方法3Laplace展开定理：设在n阶行列式D中任意取定了)(nkk个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.所以按2，3行展开)(ababbabaabbaabba=abbaabba.4.若n阶行列式ija满足ijijAa,nji，，,,,则0ija.(√)解答：由行列式展开定理nnnnnnaaaaaaaaannAaAaAa111111naaa1212211.5.若n阶行列式ija的展开式中每一项都不为零,则0ija.(×)太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第3页解答：反例如.二.单项选择题1.方程0881441221111132xxx的根为（B）.（A）3,2,1；（B）2,2,1；（C）2,1,0；（D）2,1,1.解答：（范德蒙行列式）))()()()()((xxxxxx，所以根为2,2,1.2.已知aaaaaaaaaa3,那么aaaaaaaaaaaa3（D）.（A）a；（B）a；(C)a2；（D）a2.解答：aaaaaaaaaaaa3aaaaaaaaaa-223。3.已知齐次线性方程组0030zyzyxzyx仅有零解，则（A）.（A）0且1；（B）0或1；（C）且；（D）或太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第4页解答：因为0030zyzyxzyx仅有零解，所以02-21-02-20111-01-311）（，所以0且1.4.下列行列式中不一定等于n的是（B）.（A）nnnaaa；（B）nnnnnaaa；（C）nnnaaa；（D）nn.解答：注意nnnnnaaa=)()(nnn；而nn=nnn)()(=n.5.n阶行列式ijaD展开式中项12,12,31,21nnnnnaaaaa的符号为(D).太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第5页（A）-；（B）+；（C）2)1()1(nn；（D）2)1()1(nn.三.填空题1.已知方程组czyxbzyxazyx有唯一解,且1x,那么111111cba4.解答：系数行列式110111D，而DDDx1,所以D,所以Dcbacbacba.2.已知阶行列式中第行的元素依次为,,,，第行的余子式依次为,,,a，则a.解答：行列式第行的代数余子式依次为)(,)()(,)(aa故)()()(a，解得a.3.若V为n阶范德蒙行列式,ijA是代数余子式，则njiijA1,V.太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第6页解答：VVAAAAAnjiijnnjiij01,2112111,.4.5678901201140010300020001000120.解答：方法112056789012011400103000200010005541322314aaaaa.方法212024501141030200-5120114010300200100055678901201140010300020001000.5.设xxxxxD111123111212，则D的展开式中3x的系数为-1.解答：D的展开式中有一项是344332112xaaaa.或者按第一行展开：11123112111231111131111112112111123111212xxxxxxxxxxxxxxxxD，太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第7页由此可以看出3x的系数为-1.四.计算题1.已知4521011130112101D，计算44434241AAAA.解答：方法144434241AAAA111101113011210111111002011110112011011001131112001.方法2434241AAA00111011130112101，所以14444434241AAAAA.方法31172544434241AAAA.2.计算行列式D太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第8页解答：Dcccc)()())((.3.计算行列式3833262290432231解答：128101-1201565-02231238331311904322312383326229043223150754602515-01281-215651121281-2.4.计算行列式1111111111111111xxxx解答：（行和相等）太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第9页11111111111111111111111111111111xxxxxxxx.00000001111000000011114xxxxxxxxxxxxxxx5.计算行列式ccbbaa1100110011001解答：方法一11000100010001110010001000111001100100011100110011001cbaccbaccbbaccbbaa方法二ccbbaa1100110011001bbaccbba各行往第一行加太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第10页.6.计算行列式baaaaaabaaaaabannn321321321解答：（行和相等）baaaaabaaaaabbaaaaaabaaaaabannnniinnn3232321321321321111)（.)0000001)11321nniinniibabbbaaaab（（7.计算行列式n222232222222221.解答：当2n时：22221；当2n时：各行分别减第二行得)!.2(22-000010022220001-222232222222221nnn五．证明题太原理工大学2010级《线性代数》练习册（一）第11页1.设343123211211)(xxxxxxxf，证明：存在(0,1)，使得()0f.证明：)(xf是多项式，在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且)()(ff，由罗尔定理即得结论.2.证明当1时，行列式074717171616361615151525141414141.证明：当1时0.3-11013-10113-0111084013-11113-11113-11113-840174717171616361615151525141414141