(2016版)第二部分函数图象中点的存在性问题

1/20第二部分函数图象中点的存在性问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出y0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为(a,b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式．2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。图1图2图3（2）①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6。2/20②如图2，抛物线y＝x2－3x的对称轴为直线32x，如果点A在对称轴的左侧，那么3322Dax。解得3Dxa。所以AD＝3－2a。当x＝a时，y＝x2－3x＝a2－3a。所以AB＝3a－a2。所以L＝矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2(3a－a2＋3－2a)＝21132()22a。因此当12a时，L的最大值为132。此时点A的坐标为15(,)24。如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是55(,)24。考点伸展第（2）①题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线32x，当BC＝1时，点B的坐标为(1,0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB＝2。第（2）②题中，L随a变化的图像如图4所示。图43/20例22014年上海市静安区中考模拟第24题已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝13．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．图1动感体验请打开几何画板文件名“14静安24”，拖动圆心P运动，可以体验到，△OAB与△PAC保持相似，∠OCA的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠OPC＝∠OCA．从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大．思路点拨1．第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一．2．第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理．3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析．4．不论两圆外切还是内切，两个等腰△OAB与△PAC相似．满分解答（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．在Rt△AOE中，cos∠BAO＝13AEAO，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得AOAPABAC．所以32xAC．所以23ACx．在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝13，得1322AHACCH．所以1239AHACx，224239CHACx．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得222422()(3)99yxx．4/20整理，得23649813yxx．定义域为x＞0．图2图3（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．因此OAOCOCOP．所以2OCOAOP．解方程236493(3)813xxx，得154x．此时⊙P的半径为154．②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，23ACx．如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．所以AOACACAP．因此2ACAOAP．解方程22()33xx，得274x．此时⊙P的半径为274．图4图5图6考点伸展第（3）题②也可以这样思考：如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．这样，△CAO的三边长为92、92、3．△PAC的三边长为274、274、92．5/20例32013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2yx．图2图3图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：6/20由△DMB∽△BNF，知122BNDM．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5图67/20例42012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，53sinB，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．思路点拨1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，53sinB，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，3sin5MDBBM，所以65MD．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，4cos5BOBBM，所以85BO．此时425OA．8/20③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝32，4cos5BEBBO，所以158BO．此时658OA．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy．在Rt△ONF中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到22243()(10)()55xyxyy．整理，得2505040xyx．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，65MF，85BF．在Rt△OMF中，OF＝8421055xx，所以222426()()55OMx．在Rt△BPQ中，BP＝1，35PQ，45BQ．在Rt△OPQ中，OF＝4461055xx，所以222463()()55OPx．①当MO＝MP＝1时，方程22426()()155x没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程22463()()155x，可得425xOA③当OM＝OP时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA9/202.2由面积产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cosA＝14，所以AB＝16，BC＝415．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE＝154AP＝154x．所以y＝S△PCD＝12CDPE＝1115(4)224xx＝21515162xx．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．10/20因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m．由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝44154+415＝302157．此时AE＝3021547＝21527，AP＝4AE＝81587．图2图3（3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G．由于CM＝CN＝1，MN＝2，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝22．如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．所以CP＝2