(江苏专用)立体几何

第1页高三必过关题9立体几何一，填空题例1．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了________．[解析]每个小正方体的表面积是19a2×6＝23a2，故表面积增加了23a2×27－6a2＝12a2.例2．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．[解析]设圆锥的底面半径为r，则2π3l＝2πr，∴l＝3r，∴S表S侧＝πr2＋πrlπrl＝πr2＋3πr23πr2＝43.例3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.则球O的半径为.[解析]由题意将直三棱柱ABC－A1B1C1还原为长方体ABDC－A1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDC－A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝AB2＋AC2＋AA21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132.例4．已知正ABC的边长为32,则到三个顶点的距离都为1的平面有_____个.[答案]8个例5．与空间不共面的四个点距离相等的平面有个.[解析]有两类:一类是三个点确定一个平面,另一个点在平面的一侧,过该点作平面的垂线段,过垂线段中点作与已知平面平行的平面,即符合条件,这样的平面可作4个;另一类是两个点在平面一侧,其他两点在平面另一侧,可作3个平面,共7个例6．对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交，其中使这三条直线共面的充分条件有个.[答案]1个例7．设、、、为平面，lnm、、为直线，以下四组条件：①lml,,②,,m；③m,,；④mnn,,；可以作为m的一个充分条件是．第2页ABCDD1A1B1C1[解析]题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内观察：①记面AD1为，面AC为，则AD为l，若视AB为m，m⊥l，但m在面内；②若、、、两两垂直，则可以得到m，但该条件中没有⊥，故反例只可能存在于此处，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，则AD为m，但m与成450角；③注意到m⊥，只要、不平行，就得不到m，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，视AB为m，但m与成450角；④由n⊥，n⊥得∥，再由m⊥得m；故只有④．例8．如图，ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有对.[解析]本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，所以答案3对例9．正方体1111DCBAABCD，FE,分别是1AA，1CC的中点，P是1CC上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是．[解析]本题考查几何体中的线面关系，DE∥平面11CCBB∴平面DEC与平面11CCBB的交线CM∥ED连结EM，易证MC=ED∴DFEM平行且等于，则M到达1B时，仍可构成四边形，即P到F，P在FC1之间则满足要求P到1C仍可构成四边形，故P的轨迹为线段CF和点1C.例10．设zyx,,是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若zx，且yxzy//,则”为真命题的是（填所有正确条件的代号）.①x为直线，y，z为平面②x，y，z为平面③x，y为直线，z为平面④x，y为平面，z为直线⑤x，y，z为直线[答案]①③④例11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角第3页形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为．[解析]设侧棱长为a，△ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ为PA与平面ABC所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝34×()32×a＝94，解得a＝3，∴tan∠PAQ＝PQAQ＝332×3×23＝3，故∠PAQ＝π3.例12．如图1所示，正四面体A－BCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则AMMO＝________．图1图2[解析]如图2，联结OB，设正四面体的棱长为1，则OB＝33，MB＝22，故OM＝66＝12OA＝AM，则AMMO＝1.例13．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．[答案]23例14．如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路径是________．[解析]如右图，将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接AA′分别交PB，PC于E，F两点，则当蚂蚁沿着A刘E刘F刘A′路径爬行时，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝22，即最短路程AA′的长为22.例15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有________条．第4页[解析]在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交．[答案]无数例16．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)[解析]因为PA⊂平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确．[答案]②④例17．如图,在三棱锥PABC中,PA、PB、PC两两垂直,且3,2,1PAPBPC．设M是底面ABC内一点,定义()(,,)fMmnp,其中m、n、p分别是三棱锥MPAB、三棱锥MPBC、三棱锥MPCA的体积．若1()(,,)2fMxy,且18axy恒成立,则正实数a的最小值为________．[答案]1例18.如图所示,在直三棱柱ABC—111ABC中,点M,N分别在11ABBC上,且第17题MCBAP第5页1AMAB1(01)BNBC给出以下四个结论①1AAMN;②AC∥MN;③MN∥平面ABC;④MN与AC是异面直线.其中正确的有.[解析]如图所示,在1BB上取一点P,使111BNBPAMBBABBC则MP∥AB,NP∥11CB∥CB,∴MP∥平面ABC,NP∥平面ABC.∴平面PMN∥平面ABC.∴MN∥平面ABC,即③正确.又∵1AA平面ABC,∴1AA平面PMN.∴1AAMN即①正确.当12时,M,N分别是11ABBC的中点,此时有AC∥MN,当12时,连结CN,用反证法易知MN与AC是异面直线,故结论②④欠严密性.综上,四个结论中正确的有①③.例19．水管或煤气管的外部经常需要包扎,以便对管道起保护作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所示),这就要精确计算带子的”缠绕角度”α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的ABC其中AB为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1,水管直径为2,则”缠绕角度”的余弦值为.[解析]如图,展开绕在管子外部一周的带子,若符合条件,则AC=2r=2,且90BAC°.所以cos12.例20．已知正四棱锥SABCD中，23SA，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.[解析]本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高2222()1222aahSA所以体积24611112332Vahaa，设461122yaa，则35'483yaa，当y取最值时，35'483yaa，解得a=0或a=4时，体积最大，此时21222ah.二，解答题第6页例21.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图）求证：⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1C.[解析]（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．⑶为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．猜想A1O⊥OF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF.（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1C例22．右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知11111ABBC，11190ABC，14AA，12BB，13CC．若点O是AB的中点，证明：OC∥平面111ABC.[解析]取A1B1中点D，连1CD．则11ODBBCC∥∥．1111()32ODAABBCC．∴四边形1ODCC是平行四边形，因此有1OCCD∥．又1CD平面111CBA且OC平面111CBA，∴OC∥面111ABC．注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理等．例23．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD.[解析]本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB,ABCO1A1B1CDABCDPEF第7页所以,PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴DCPD∵PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴PCDE.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC,∴DEBC.②由①和②推得DE平面PBC.而PB平面PBC,∴PBDE又PBEF且EEFDE,所以PB⊥平面EFD.例24．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2．（1）证明：面BDD1B1⊥面ACD1；（2）若E是BC1的中点，P是AC的中点，F是A1C1上的点，C1F=mFA1，试求m的