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当前位置:首页 > 高等教育 > 习题/试题 > 02(简)振动波动第二章波动(2003)
1第2章波动(Wave)前言:1.振动在空间的传播过程叫做波动。波动是一种重要的运动形式。2.常见的波有两大类:(1)机械波:机械振动在媒质中的传播。(2)电磁波:变化电场和变化磁场在空间中的传播。·此外,在微观中波动的概念也很重要。3.各种波的本质不同,传播机理不同,但其基本传播规律相同。本章讨论:机械波(Mechanicalwave)的特征和有关规律,具体为,(1)波动的基本概念;2(2)与波的传播特性有关的原理、现象和规律;(3)与波的叠加特性有关的原理、现象和规律。§1机械波的产生和传播一、机械波的产生1.产生条件:(1)波源;(2)介质(媒质)2.弹性波:机械振动在弹性介质中的传播(如弹性绳上的波)。弹性介质的质元之间以弹性力(elasticforce)相联系。3.简谐波:若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动,此种波称为简谐波(simpleharmonicwave)。以下我们主要讨论简谐波。3二、波的传播1.波是振动状态的传播以弹性绳上的横波为例,由图可见:由图可见:··························································048121620t=0t=T/4t=T/2··········································t=3T/4·························t=T弹性绳上的横波4(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动,并未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间的弹性力)。(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现,这就是“波是振动状态的传播”的含义。(4)有些质元的振动状态相同,它们称作同相点。相邻的同相点间的距离叫做波长(wave-length),它们的相位差是2。2.波是相位的传播·由于振动状态是由相位决定的,“振动状态的传播”也可说成是“相位的传播”,即5某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下游”某处。·于是沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。图中b点比a点的相位落后即a点在t时刻的相位(或振动状态)经t的时间传给了与它相距为x的b点,或b点在t+t时刻的相位(或振动状态)与a点在t时刻的情况相同(即波的传播速度)。xt2=()x··abxxu传播方向b点和a点的相位比较6三、波形曲线(波形图)1.波形曲线(x曲线)波形曲线(waveformcurve)是x关系曲线),·-质元的位移·x-质元平衡位置的坐标·--x曲线反映某时刻t各质元位移在空间的分布情况。(t时刻用照相机为所有质元拍的团体相)·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次),波形向前传播一个波长的距离。oxut波形曲线7·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。2.注意区别波形曲线和振动曲线波形曲线:x曲线振动曲线:t曲线,反映某一质元的位移随t的变化。(用摄像机为“舞姿优美”的某质元拍的一段特写镜头)。·在振动曲线上应标明是哪个质元的振动曲线。3.要求:应掌握,(1)由某时刻的波形曲线8画出另一时刻的波形曲线;(2)由某时刻的波形曲线确定某些质元的振动趋势画出这些质元的振动曲线;(3)由某质元的振动曲线画出某时刻的波形曲线。☆重要原则:不管是在波形曲线还是振动曲线上,同一质元在同一时刻的振动位移应相同(可用此原则检验所画曲线是否正确)。练习:1.已知t=0时刻的波形曲线如下图,(1)画出t+(T/4),t+(T/2),t+(3T/4)各时刻的波形曲线。(2)在题图上用小箭oxut=0····abcd(a)9头示出a、b、c、d各质元的振动趋势,并分别画出它们的振动曲线。2.已知x=0处质元的振动曲线如图,画出t=0时刻的波形曲线(设波沿+x方向传播)。四、波的特征量1.波长:两相邻同相点间的距离。波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度,或一个振动周期内波传过的距离。2.波的频率:即媒质质点(元)的振动频率。·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的练习题用图oTtx=0(b)10波的个数。·通常情况下有波的频率=波源的振动频率s3.波速u:波速是振动状态的传播速度,数值上等于单位时间内振动状态传播的距离。·波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。·因振动状态由相位决定,所以波速也就是相位传播的速度,称相速度(phasevelocity)。·要注意区分波速u和媒质质元的振动速度。tuT11五、横波和纵波横波(transversewave):质元振动方向波的传播方向纵波(longitudinalwave):质元振动方向‖波的传播方向演示:横波、纵波模型§2一维简谐波的表达式一、一维简谐波的表达式一维简谐波的表达式也称波函数(wavefunction)讨论:沿+x方向传播的一维简谐波(波速u,振动角频率为)假设:媒质无吸收(质元振幅均为A)x···dxo任一点p参考点a波速u写波的表达式用图12已知:参考点a的振动表达式为a(t)=Acos(ta)求写:任一点p的振动表达式比较:p点和a点的振动·其A和均各相同·但p点比a点相位落后任一点p的振动表达式为一维简谐波的表达式它即是任一点的振动表达式,反映任一点(位置在x)在任一时刻t的位移。2(x-d)(x,t)=Acos[t+a2(x-d)]-13★如果选原点为参考点(即d=0),且其初相a为零,则可得表达式为此情形下波的表达式还有几种形式:式中12uk==称作角波数(圆波数)称作波数(wavenumber)。(angularwavenumber)(x,t)=Acos[t-x]2(x,t)=Acos2[tTx]x(x,t)=Acos[t-]u(x,t)=Acos[t-kx](x,t)=Acosk[ut-x]14练习:如果波沿-x方向传播,请写出波的表达式?二、一维简谐波表达式的物理意义由(x,t)cos(t-kx)从几方面讨论:1.固定x:如令x=x0,则波的表达式变为(x0,t)=Acos(t-kx0)·即x0处质元的振动表达式(初相是-kx0),·由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。2.固定t:如令t=t0,则波的表达式变为(x,t0)cos(t0kx)15·反映t0时刻各不同x处质元的位移状况。·由它画出的曲线即t0时刻的波形曲线。3.如看定某一相位,即令(t-kx)=常数(x,t均为变量),则此相位在不同时刻出现于不同位置,它的传播速度(相速度)可由上式的微分得出为4.表达式也反映了波是振动状态的传播。可以验证有(x+x,t+t)=(x,t)其中x=ut。上式说明t时刻x处质元的振动状态在t+t时传到了x+x处。dx=u=dtk165.表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。(1)周期T代表了时间周期性·由质元运动看:每个质元振动周期为T·由波形看:t时刻和t+T时刻的波形曲线完全重合。(2)波长代表了空间周期性·由质元看:相隔的两点振动状态完全相同(同相点)。·由波形看:波形在空间以为“周期”分布着。称波的“空间周期”。时间、空间两方面的周期性以相速u联系起来:u=Tk17三、平面波和球面波1.波的几何描述·波线(waveline):沿波传播方向的射线。·波面(wavesurface):波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点是同时开始振动的,具有相同的相位,波面又称同相面。·波前(波阵面)(wavefront):最前沿的波面。·平面波(planewave):波面是一些平行平面的波。·球面波(sphericalwave):波面是一些同心球面(可以是球面的一部分)的波。在各向同性的媒质中波线波面。182.平面简谐波的表达式若平面简谐波(planesimpleharmonicwave)沿+x向传播,空间任一点p(x,y,z)的振动相位只和x与t有关,而和它空间坐标无关。前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。3.球面简谐波的表达式·设一各向同性的点波源,在各向同性媒质中向四面八方发出球面波。球面波平面波波线波面波面和波线19·各点的频率仍决定于波源,·但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因见波的能量部分),其表达式为式中A0为距波源r0处的振幅。§3波动方程和波速本节对媒质的波动行为作动力学分析,导出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方程波动方程(wavefunction)。一、平面波波动方程A0r0r为r处的振幅,随r的增大而减小。(r,t)=()cos(t-kr)A0r0r201.一般形式·此即沿x向传播的平面波(不限于平面简谐波)的动力学方程,等号右端项的系数即波速u的平方。·前面所讲的平面简谐波的表达式是此波动方程的解(可用代入法检验)。2.弹性绳上的横波·波动方程:·波速:T-绳的初始张力-绳的线密度3.固体棒中的纵波u=Tt2x222=T2t22x2=u221·波动方程:·波速:Y-杨氏弹性模量-体密度·相应形变:长变4.固体中的横波·波动方程:·波速:G-切变模量∵GY,固体中u横波u纵波u=G22t2x2=Yu=Y=YFSll022t2x2=Gp长变(拉、压)l0l0+lFFF切F切面积S固体的几种基本形变容变pppV0+V切变22·相应形变:切变思考:如果发生地震,你在家中会有怎样的震感?5.流体中的声波·波动方程:·波速:k-体积模量0-无声波时的流体密度理想气体:t2x222=k0u=k0=GFSRTu=*震中家中的震感23式中摩尔质量·相应形变:容变可见,波速取决于·媒质的性质(弹性和惯性,材料对不同的形变有不同的抵抗能力即表现出不同的弹性);·波的类型(横波、纵波)。二、固体棒中纵波的波动方程(推导)思路:·由胡克定律(应力、应变关系)·由牛顿第二定律1.某截面处的应力、应变关系=CpCp=-k(VV0)24在棒上取长为x的一小段质元,·t时刻,x处截面的位移:(x,t)x+x处截面的位移:(x+x,t)·波引起的x段的平均应变:·当x0时,得x处截面t时刻的应变为·x处截面的应力为·由胡克定律有xF(x,t)S(x+x,t)-(x,t)xx自由状态···oxx+xxt时刻(x,t)(x+x,t)x截面x+x截面有纵波时棒中质元t时刻的位形与它原来位形的比较25x处截面的应力、应变关系(待下面用)2.波动方程·在棒上取质元x,其质心位移为(x,t)·由牛顿定律有,·将前述应力、应变结果代入有·令x0,并取极限即得所求波动方程(Sx)2t2=F2-F12t2F2SF1S-x==YFSxx2x·x···ox1x(x,t)F1F2x1截面x2截面截面S··有纵波时棒中质元t时刻的位形和受力情况26§4波的能量·前已讲:波是振动状态的传播,相位的传播,外观上有波形在传播。·现讨论:随着波的传播能量也在传播。·对于“流动着”的能量,要由能量密度和能流密度两个概念来描述。一、弹性波的能量能量密度·波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动。·对一块弹性媒质,2t2x=Yx)2-(x)1(2t2x22=Y27因振动有振动动能;因形变有形变势能,两者之和称此媒质中弹性波的能量。(一)弹性波的能量密度1.动能密度·取细长棒上质元x,其动能为·动能密度2.势能密度考虑一棒的长变,·棒长:l,截面:S·两端拉力:由0FSx()2t1212Wk=mV2=WkSxwk=2t1
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