02-3晶体宏观对称性.

洛阳师范学院1/15/20204:21:34AM1Chapter2StructureofMaterialsChapter2Structureandpropertyofmaterials二、晶体的宏观对称性洛阳师范学院旋转反伸轴(I4是独立的）Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi4Li6=L3+PLi1Li2Li3Li4Li6四方四面体洛阳师范学院1.晶体中的宏观对称元素和对称操作：对称中心（i）反演对称面(σ)反映旋转轴(Cn)旋转倒转轴(In)旋转反演4,6,4,3,2,1,,mi洛阳师范学院2.对称要素的组合定理定理1：Ln+P//=LnnP定理2：Ln+L2⊥=LnnL2定理3：Ln(偶)+P⊥=LnPC定理4：Lin(奇)+L2⊥(或P//)=LinnL2nPLin(偶)+L2⊥(或P//)=Lin(n/2)L2(n/2)P定理5：Ln+Lm=nLmmLn洛阳师范学院3.晶体的宏观对称性（1）对称型的概念和类型概念结晶多面体中全部宏观对称要素的组合，称为该结晶多面体的对称型。●对称型中使用的对称要素：●宏观晶体所具有的对称性都是这8种基本对称要素的组合。●对称要素组合形式共32种，称为32种点群。分类：A类：高次轴不多于一个(27种)；B类：高次轴多于一个(5种)4,6,4,3,2,1,,mi洛阳师范学院Ln与垂直的L2组合：Ln+L2⊥=LnnL2L1+L2⊥=L1L2=L2L2+L2⊥=L22L2=3L2L3+L2⊥=L33L2L4+L2⊥=L44L2L6+L2⊥=L66L2(2)对称型的推导(a)A类对称型对称轴单独存在L1L2L3L4L6洛阳师范学院Ln与垂直它的P组合:L1+P⊥=L1P=PL2+P⊥=L2PCL3+P⊥=L3PL4+P⊥=L4PCL6+P⊥=L6PCLn与平行它的P组合：Ln+P//=LnnPL1+P//=L1P=PL2+P//=L22PL3+P//=L33PL4+P//=L44PL6+P//=L66PLn(偶)+P⊥=LnPC洛阳师范学院Lin单独存在Li1=CLi2=PLi3=L3CLi4=S4Li6=L3PLn与平行它的P以及垂直它的P组合Ln+P//+P⊥=LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生）L1+P//+P⊥=L1L22P=L22PL2+P//+P⊥=L22L23PC=3L23PC；L3+P//+P⊥=L33L24P=Li63L23PL4+P//+P⊥=L44L25PCL6+P//+P⊥=L66L27PC洛阳师范学院Lin与垂直的L2(或包含它的P)的组合Lin(奇)+L2⊥(或P//)=LinnL2nPLin(偶)+L2⊥(或P//)=Lin(n/2)L2(n/2)PLi1L2P(L2PC)Li2L2P(L22P)Li33L23P(L33L23PC)Li42L22PLi63L23P(b)B类对称型3L44L36L23L44L36L29PC3L24L33L24L33PC3Li44L36P在高次轴多于一个时，情况比较复杂洛阳师范学院其中有些对称型是重复的，独立存在的不同对称型共32种洛阳师范学院4.群和群阶晶体对称性的精确数学描述，采用群论的方法。群的概念：群代表一组具有特殊“运算规则”的数学“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}。群阶：群中元素的个数。群的性质：1)群的封闭性：集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素——若A,BG,则AB=CG2)恒等元素：存在单位元素E,使得所有元素满足：AE=A4)结合率：元素间的‘乘法运算’满足结合律：A(BC)=(AB)C3)逆元素：对于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E洛阳师范学院例如：正实数群——所有正实数的集合，以普通乘法为运算法则整数群——所有整数的集合，以加法为运算法则对称群——一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义。运算法则：对称操作NH3分子：H2OE,C2,v(1),v(2)4阶群含有6个群元，E、C31，C32，v(1),v(2)，v(3)，可以写成2C3，3v，E，所以NH3分子是6阶群。洛阳师范学院5.点群一个分子（或晶体）所具有的对称操作的完全集合构成一个点群，每个点群有一个特定的符号。C2v点群：},,,{22ECCxzyzv封闭性：元素相乘符合结合律：ECCCyzxz222)(yzxzC2ECCCyzyzyzxz)(2点群中有一恒等操作E：222CECECECC212每个元素都有其逆元素：洛阳师范学院常见的点群(1)C1点群(2)Cn点群非对称化合物[除C1外（E)，无任何对称元素][仅含有一个Cn轴]（C1,C2,C3,C4,C6)洛阳师范学院(3)Cs点群(4)Cnv点群仅含有一个镜面含有1Cn轴和nv洛阳师范学院(5)Cnh点群(6)Dn点群含有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的对称面C2h点群一个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2轴洛阳师范学院(8)Dnd点群(7)Dnh点群具有一个Cn轴,n个垂直于Cn轴的C2轴(Dn）n个分角对称面dD4h点群D5d点群具有一个Cn轴,n个垂直于Cn轴的C2轴(Dn）一个h洛阳师范学院(9)Sn点群只具有一个Sn轴（反映轴）S4点群(10)Td点群{4C3,3C2,3S4,6d}(11)Oh点群Td点群Oh点群–n=奇数，Sn=Cnh–n=偶数，S2=CiS4，S6（C3i）｛3C4,4C3,6C2,3σh,6σv,i｝洛阳师范学院晶族、晶系与空间点阵形式在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。晶体高级晶族（高次轴多于一个）中级晶族（高次轴只有一个）六方晶系(有唯一的C6或S6)四方晶系（有唯一的C4或S4）三方晶系(有唯一的高次轴C3)低级晶族（无高次轴）斜方晶系(C2和m总数不少于3个)单斜晶系(C2或m不多于一个)三斜晶系(无C2，无m)立方晶系（多个高次轴）（1）晶族（2）晶系6.晶体的对称形式洛阳师范学院七个晶系的单位平行六面体按照单位平行六面体的划分原则，对7个晶系的晶体进行划分，得到的晶格常数特征：立方格子：a=b=c,α=β=γ=90°；四方格子：a=b≠c,α=β=γ=90°；六方格子：a=b≠c,α=β=90°,γ=120°；三方格子：a=b=c,α=β=γ≠90°；正交格子：a≠b≠c,α=β=γ=90°；单斜格子：a≠b≠c,α=γ=90°,β≠90°；三斜格子：a≠b≠c,α≠β≠γ≠90°；洛阳师范学院（3）空间点阵形式－14种空间格子单位平行六面体的划分原则：●能反映整个结点分布所具有的对称性；●棱与棱之间的直角尽可能最多；●体积最小。说明：如图4mm格子中6种选择方式：3、4、5、6与4mm的对称不符，1、2方式中1的体积最小，故1是应选单位平行六面体。格子的选择洛阳师范学院mm2引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；BAC洛阳师范学院我们讨论了平行六面体（格子）的形状，并未讨论格子内的内容。如果一个格子就包含一个阵点，我们称之为素单位格子；如果包含有多于一个阵点时，我们就成为复单位格子。素格子复格子洛阳师范学院7个晶系中考虑到复格子，其格子基本类型：原始格子P：结点分布于角顶；底心格子C：结点分布于角顶和一对面的面心。体心格子I：结点分布于角顶和体中心；面心格子F：结点分布于角顶和各面的中心。洛阳师范学院按单位平行六面体的7种划分和四种结点分布类型，空间格子应有7×4=28种，实际给出14种。这是因为：●某些类型的格子彼此重复，●一些格子不符合该晶系的对称。例如:四方底心格子(虚线)可转化为体积更小的四方原始格子（实线）。三方菱面体面心格子(虚线)可以转化为体积更小的三方菱面体原始格子。洛阳师范学院14种空间格子（布拉维格子）综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格子的基本类型共有十四种。由布拉维导出，称为十四种布拉维格子。三斜晶系：P单斜晶系：P,C正交晶系：P,C,I,F四方晶系：P,I三方晶系：P六方晶系：P立方晶系：P,I,F洛阳师范学院晶系原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）三斜C=II=FF=P单斜I=FF=P正交四方C=IF=P洛阳师范学院晶系原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）六方与本晶系对称不符I=FF=P菱形与本晶系对称不符I=FF=P立方与本晶系对称不符洛阳师范学院简单立方面心立方体心立方洛阳师范学院简单四方体心四方洛阳师范学院简单六方洛阳师范学院简单菱方洛阳师范学院体心正交简单正交面心正交底心正交洛阳师范学院底心单斜简单单斜洛阳师范学院简单三斜洛阳师范学院14种布拉菲点阵三斜单斜正交菱方四方六方立方洛阳师范学院晶系特征空间点阵特征对称元素三斜abc简单三斜(无转轴)无C2,无m单斜abca==90°;90°简单单斜底心单斜C2或m不多于一个正交abca===90°简单正交;底心正交;体心正交;面心正交C2或m多于一个菱方（三方）a=b=ca==90°斜方一个C3四方a=bca===90°简单四方体心四方一个C4六方a=bca==90°;=120°六角一个C6立方a=b=ca===90°简单立方体心立方面心立方4C37个晶系和14种空间点阵类型洛阳师范学院高级晶族立方晶系中级晶族六方晶系四方晶系三方晶系低级晶族正交晶系单斜晶系三斜晶系有4条3次旋转轴或3次倒转轴唯一的6次旋转轴或6次倒转轴唯一的4次旋转轴或4次倒转轴唯一的3次旋转轴或3次倒转轴有3个2次旋转轴或2次倒转轴唯一的2次旋转轴或2次倒转轴只有1次旋转轴或1次倒转轴洛阳师范学院洛阳师范学院7.点群国际符号：洛阳师范学院点阵格子三斜：aP单斜：mPmS正交：oPoIoSoF四方：tPtI立方：cPcIcF六方：hP三方：hR点群国际符号112m2/m222mm2mmm444/m4224mm42m4/mmm23m343243mm3m666/m6226mm62m6/mmm33323m3m洛阳师范学院6.5对称型的国际符号洛阳师范学院1.国际符号中对称要素的表示方法对称面：m对称轴：1、2、3、4、6旋转反伸轴：1、2、3、4、6补充：洛阳师范学院2.国际符号的序位由1-3个序位构成，每个序位表示晶体特定方向上的对称要素。如：2、2/m、32、4mm、422、m3m。洛阳师范学院3.各晶系对称型的国际符号⑴三斜晶系：（L1，C）国际符号只有一个序位，没有取向问题。L1--1C--ī洛阳师范学院⑵单斜晶系（L2，P，L2PC）国际符号只有一个序位，表示与Y轴平行的L2或垂直的P。L2－2P－mL2PC－2/m洛阳师范学院⑶斜方晶系（3L2，L22P，3L23PC）国际符号由三个序位构成：第一序位：X方向的L2或P⊥第二序位：Y方向的L2或P⊥第三序位：Z方向的L2或P⊥洛阳师范学院•3L2－222•3L23PC－2/m2/m2/m（mmm)•L22P－mm2(mm)洛阳师范学院⑷四方晶系第一序位：Z轴方向的L4和P⊥第二序位：X、Y轴方向的L2；或P⊥第三序位：X、Y之间的L2；或P⊥洛阳师范学院•L4–4•L44L2－422•L44P－4mm，•L44L25PC－4/m2/m2/m(4/mmm)。•Li4–4•Li42L22P－42m洛阳师范学院⑸三方晶系和六方晶系第一序位：Z轴方向的L3、L6、Li6第二序位：X、Y、U轴方向的L2；或P⊥第三序位：X、Y、U之间的L2；或P⊥洛阳师范学院•L6–6•L66L2－622•L66P－6mm•L66L27PC－6/m2/m2/m(6/mmm)•Li6－6•Li63L23P－62m洛阳师范学院•L3–3•L3C－3•L33P－3m•L33L2－32•L33L23PC－32/m(3m)洛阳师范学院⑹等轴晶系第一序位：X,Y,Z方向的L4，Li4，L