02-1变量分离方程与变量变换

第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性方程与常数变易法§2.3恰当方程与积分因子§2.4一阶隐方程与参数表示©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页约定：。后面加上一个任意常数的原函数族需要在的某一个原函数。表示课程中，我们常用意常数。但在微分方程一个任的原函数族，里面含有表示用我们曾，在数学分析课程中，对于函数dxxfxfxfdxxfxfdxxfxf)()()()()()()(©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离方程的求解二、可化为变量分离方程类型三、应用举例©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页122yxdxdyyxyedxdyxyeye（一）引例：一、变量分离方程的求解5yedxdyx©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页定义1形如)1.2()()(yxfdxdy的方程,称为变量分离方程..,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy（二）定义©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2.2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由cxy)1.2()()(yxfdxdy两边积分得02写成将时当)1.2(,0)(y（三）解题步骤：©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页可能的解也是则使若存在,)1.2(,0)(,000yyyy注:例1求微分方程)101(yydxdy的所有解.解:再积分方程两边同除以),101(yy1)101(cdxyydy积分得:110lncxyy.,)2.2(必须予以补上的通解中它不包含在方程©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页得再将常数记为从上式中解出,,cy,110xcey.0c,100,0)101(yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为:,,110为任常数cceyx.0y和©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页解:分离变量后得:dxxdyy123两边积分得:121ln2cxy整理后得通解为:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231无意义在由于函数其中xxyecc.00之一中有意义或故此解只在xx.,,0应补上这个解未包含在通解中此外还有解y例223ydxdyx求微分方程的通解.©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页解:将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得:1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey例3求微分方程yxpdxdy)(.)(的连续函数是其中xxp,的通解©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0,0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页例4.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分离时当,,0yxdxydycos2两边积分得:,sin1cxy因而通解为:,sin1cxy.为任意常数其中c.,0得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页我们已经知道，变量分离方程总可以用初等解法求解。另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离方程，则原方程也可用初等积分法求解。下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换化为变量分离的微分方程类型。再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为:.sin111sin1xxy©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程,)II(222111的方程形如cybxacybxafdxdy.,,,,,222111为任意常数其中cbacba©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页(I)形如：)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug的方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于;20解以上的变量分离方程.30变量还原©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyuuu2即udxdux2将变量分离后得.2xdxuduudxdux©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,0)ln(,))(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为.0)ln(,00)ln(,])[ln(2cxcxcxxy©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页例6求下面初值问题的解0)1(,)(22yxdydxyxy解:方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu21udxdux将变量分离后得.12xdxudu©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1.1,0)1(cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为).1(212xyxdxudu21©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页(II)形如,222111cybxacybxadxdy.,,,,,222111为常数这里cbacba的方程,可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0.121cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页的情形0.22121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxau)(22ybxaf222122)(cybxacybxakdxdu)(22ufbadxdyba22这就是变量分离方程©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页不同时为零的情形与且2121210.3ccbbaa,00222111cybxacybxa则).0,0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu求解04变量还原05©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程组,0301yxyx,2,1yx得代入方程得令2,1yYxXYXYXdXdY:,得令XYu.112uudXduXXYXY11©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页将变量分离后得XdXuduu21)1(两边积分得:cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2()1(ln12arctan22cyxxy©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu2xyuxyu©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页以及0))(,())(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM等一次数可以不相同的齐次函数为其中),,,(yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解..,变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页解:,xyu令ydxxdydu则代入方程并整理得0))(1()1(udxxduudxuu即0)1(22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原，得通解为.ln1cyxxy©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页三、应用举例例9、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解:则表面积为雪球的体积为设在时刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(323231tvts©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一页返回返首页上一页再利用题中条件得引入新常数,3)4(3231k3232313)4(vkdtdv36)2(,288)0(vv,32v分离变量并积分得方程的通解为.)(271)(3tctv由初始条件得3369,636c代入得雪球体积随时间变化的关系为.)312(6)(3ttv].4,0[:t实际问题要求注©Copyright阜阳师范学院数系储亚伟2007下一页返回返首页上一页下一