02讲-应力与平衡位移与应变

2020/1/151王正伟13601363209第二章应力与平衡、位移与应变TheoryofStressandBalance、displacementandstrain清华大学热能工程系Dept.ofThermalEngineeringTsinghuaUniversity位移与应变位移与运动的分解变形的不同描述方式应变位移的关系2020/1/152王正伟13601363209应力与平衡TheoryofStressandBalance内力与应力载荷、内力与应力斜面应力公式(柯西公式)主应力应力莫尔圆应力平衡微分方程笛卡儿坐标系下的平衡微分方程圆柱坐标系下的平衡微分方程2020/1/153王正伟13601363209外力、载荷Load面力是作用在物体表面上的外力。体积力是作用在物体内部体积上的外力。0limVVFf0limSSFp2020/1/15若取为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。4王正伟13601363209应力矢量(应力)StressVectorS应力矢量(应力)()0limSSFS2020/1/155王正伟13601363209下图为低碳钢轴向拉伸变形情况，前两个图为小变形情况，应力计算采用工程应力，第三个真实截面面积相比于初始情况变化剧烈，因而必须采用真实应力来描述。在以后的讨论中主要研究小变形问题，因而应力计算上为工程应力。应力矢量(应力)StressVectorxxxyxzyxyyyzzxzyzz2020/1/156王正伟13601363209应力状态StateofStress在笛卡尔坐标系中，用六个平行于坐标面的截面在一点周围截取一个正六面体微元。正六面体的六个面法向矢量与坐标轴平行，同向的三个面称之为正面，反向的三个面称之为负面。将作用在正面上的应力矢量沿坐标轴方向分解。123xxxyxzyxyyyzzxzyzzijkijkijk2020/1/157王正伟13601363209面力、应力矢量与应力状态辨析相同点：量纲相同；内力与应力的数学定义相同。不同点：面力为表面的已知量；应力矢量依赖于点和斜截面；应力状态为客观量，仅与点有关。2020/1/158王正伟13601363209斜面应力公式CauchyFormula四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方向余弦。cos(,)iiiee112233iieeee2020/1/159王正伟13601363209斜面应力公式CauchyFormula四个截面面积分别为：四面体体积为：111222333()dd()ddd()ddd()ddSSOBCSSSOCASSSOABSS斜截面eee1dd3VhS2020/1/1510王正伟13601363209()1(1)2(2)3(3)1(1)2(2)3(3)()()()()eeeeee四面体平衡条件为：123xxyxzyxyyzzxzyzijkijkijk()()ijijee斜面应力公式CauchyFormula(1)1(2)2(3)3()ddd1d(dd)03SSSSfhS2020/1/1511王正伟13601363209斜面应力公式的应用计算斜截面上应力的大小：计算斜截面上应力的方向：计算斜截面上正应力：计算斜截面上剪应力：()1()2()3()()1/21/2222()iilikkil()n()==nijij()n2020/1/1512王正伟13601363209转轴公式（1）由老坐标（常选笛卡尔坐标）中的应力分量求新坐标（可选任意正交曲线坐标）中的应力分量。（2）求斜截面应力。把斜面法线和斜面内某两个相互垂直的方向选作新坐标轴，用转轴公式能求得斜面上的正应力和剪应力。zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxlnlnnmnmmlmlnnmmlllnlnnmnmmlmlnnmmlllnlnnmnmmlmlnnmmlllnnmmlnmllnnmmlnmllnnmmlnml)()()()()()()()()(2222222223113311331131313132332233223323232321221122112212121213333332323232222222222221111112121212020/1/1513王正伟13601363209主应力PrincipalStress对于给定的应力状态，若改变斜面方向，则斜面应力的大小和方向都会发生改变，因此是否存在一个面，使得只存在正应力而无剪应力？()0xxyxzxyyyzxzyzz23、、123、、2020/1/1514王正伟13601363209主应力的性质PrincipalStress不变性：由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。从物理的角度来考虑，它们都是物体内部受力状态的客观性质，与人为选择的参考坐标无关。实数性：即特征方程的根永远是实数，从物理角度来考虑，应力也不存在复数的可能。极值性：主应力和是一点正应力的最大值和最小值。正交性：特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内可任选两个相互正交的方向作为主方向；特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。主应力坐标系：在任意一点，以三个主方向为轴建立坐标系称为主坐标系，此时应力张量可以简化成对角型。312300()00002020/1/1515王正伟13601363209平面中一点的应力状态StressState11tanxxy2221)2(2xyyxyx主应力：主方向：12max2最大剪应力：xyOPABpnpxpynnyxxyτyxτ2020/1/1516王正伟13601363209应力莫尔圆Mohrcircleofstress弹性力学中应力莫尔圆可以说是材料力学中二维应力圆的推广，在材料力学平面问题中只有两个主应力，这样只有一个莫尔圆，而弹性力学中有三个主应力，这样应力摩尔圆的数目为有三个。τσnOσ3σ2σ12020/1/1517王正伟13601363209应力莫尔圆Mohrcircleofstress三维莫尔圆2020/1/1518王正伟13601363209应力平衡微分方程StressBalanceEquation首先我们认为应力状态是坐标的函数，在笛卡尔坐标系下有(,,)(,,)(,,)=(,,)=(,,)=(,,)xxxxxyyyyyzzzzzxyxyxyyzyzyzzxzxzxxyzxyzxyzxyzxyzxyz2020/1/1519王正伟13601363209现在考虑X轴方向上的受力平衡，得到：dddddddddddddddddd0xxxxxxyxyxyxzxzxzxxxyzyzxyxzxzyzxyxyzfxyz0yxxzxxfxyz应力平衡微分方程StressBalanceEquation2020/1/1520王正伟13601363209同样方法计算Y轴和Z轴方向上的受力平衡，得到应力的平衡微分方程如下：000yxxzxxxyyzyyyzxzzzfxyzfxyzfxyz222222yxxzxxxxxyyzyyyyyzxzzzzzufaxyztufaxyztufaxyzt指标形式：下标表示对方向求偏导数，为体积力。,0ijjib,ijjijib应力平衡微分方程StressBalanceEquationj(,)j2020/1/1521王正伟13601363209剪力互等定理Stressbalanceequation下面考虑微元的力矩平衡，通过形心考虑Z轴方向取矩，凡是作用线通过形心或方向与轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零，于是力矩平衡方程只剩两项。11ddddddd2211ddddddd022xyxyxyyxyxyxxyzxxyzxxyzyxyzyxyyx2020/1/1522王正伟13601363209下面考虑圆柱坐标系中的平衡方程,,,,,,rrrzrzzrzz1012010rrrzrrrzrzzrzzrzfrrzrfrrzrfrrzr应力平衡微分方程StressBalanceEquation2020/1/1523王正伟13601363209位移的描述CharacterizationofDisplacement从位移对物体的影响而言，位移可以划分刚体位移和变形。刚体位移是由整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动；变形是物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，且改变了物体内部各个点的相对位置。刚体位移和变形是同时出现的，在弹性力学中我们忽略刚体运动对物体的影响，仅考虑变形。2020/1/1524王正伟13601363209拉格朗日坐标系其坐标系是放在所描述的物体上随着物体一起运动。拉格朗日描述法以物体变形前的初始构形为参照构形，质点变形前的坐标为基本未知量。将变形后物体的位置表示为的函数：欧拉坐标系其坐标系本身是固定的，仅物体运动。欧拉描述法以物体变形后的新构形为参照构形，质点变形后的坐标为基本未知量。将变形前物体的位置表示为的函数：123(,,)xxxuu123,,Taaaax123,,aaa123(),(,,)iixxaaax=xa123123(,,)(,,)iiiiuxaaaauaaa123,,xxxTxa123,,xxx123(),(,,)iiaaxxxa=ax123123(,,)(,,)iiiiuxaxxxuxxx位移的描述CharacterizationofDisplacement区别：欧拉坐标固定在空间，拉格朗日坐标固定在材料上；欧拉坐标指一点在空间的位置，拉格朗日坐标标记一个材料点。2020/1/1525王正伟13601363209在下面的分析中采用符号得到位移是质点初始坐标或变形后坐标的函数利用小变形条件可以得到1ijua123,,,,xyzxxxTTx123,,u,v,wuuuTTu==123123(,,)(,,)aaaxxx或uuuuiijjuuax123(,,)xxxuuiijjuuax位移的描述CharacterizationofDisplacement2