03第三节行列式的性质

第三节行列式的性质内容分布图示★性质1★例1★性质2★例2★例3★性质3★例4★例5★例6★性质4★例7★例8★性质5★例9★行列式的计算★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★内容小结★课堂练习★习题1-3★返回内容要点：一、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为TD或'D,即若,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111.性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行(列)乘以k,记为ki(或kCi).推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211.则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin.性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:以数k乘第j行加到第i行上,记作jikrr;以数k乘第j列加到第i列上，记作jikcc.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲:例1若210101321D,则.213102011DDT例2（1）012121110012110121（第一、二行互换）.（2）102110211012110121（第二、三列互换）（3）0725011011（第一、二两行相等）（4）0337224112（第二、三两列相等）例3（1）02222510211因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4若121013201D,则D2121013201)2(121013402又D412101320141240112204.例5(讲义例1)设,1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa例6证明奇数阶反对称行列式的值为零.例7（1）.110111311103111132（2）1)2(1272305)2(11121272305211122720521112730511.例8因为,12310403212213而15)40()29(02213123.因此0221312303212213.注:一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111bbbbaaaababababa.例9（1）13201013113214113112rr,上式表示第一行乘以1后加第二行上去,其值不变.（2）33204103113214113113cc,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例10计算行列式2150321263D.例11(讲义例2)计算.3351110243152113D例12(讲义例3)计算.3111131111311113D注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1nbabnaabbbbbabbbba例13(讲义例4)计算.1111000000332211aaaaaa例14(讲义例5)计算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD例15设nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110000，,,1111211111nnnnkkkkbbbbDaaaaD证明.21DDD例16(讲义例6)解方程.0113211232113221132111321xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn课堂练习1.计算行列式.0112012120112110D2.计算n阶行列式abbbbbabbbba