03非线性分析

第1页第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。如果绘制一个非线性结构的载荷－位移曲线，则力与位移的关系是非线性函数。2、引起结构非线性的原因：a几何非线性：大应变，大位移，大旋转（例如钓鱼竿的变形）b材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c状态改变非线性：接触，单元死活3、非线性行为——分析方法特点A不能使用叠加原理!B结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。C结构响应与施加的载荷可能不成比例。1.2非线性分析的应用1、一些典型的非线性分析的应用包括：A非线性屈曲失稳分析B金属成形研究C碰撞与冲击分析D制造过程分析（装配、部件接触等）E材料非线性分析（塑性材料、聚合物）2、橡胶底密封:一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶），及状态非线性（接触）的例子。2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值问题。结构总位能Π：2、增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步。A要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前，调整刚度矩阵以反映结构刚度的变化。B增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲分析）十分有用。C增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载－位移曲线飘移。D对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。应用最广的就是在每一级载荷增量上用Newton-Raphson或其变形的迭代法。3、迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法第2页Newton-Raphson迭代法：切向刚度法中2.2Newton-Raphson迭代法1、优点：对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度。2、Newton-Raphson法迭代求解使用下列方程：[KT]=切向刚度矩阵，{u}=位移增量{Fa}=施加的载荷矢量，{Fnr}=内力矢量3、Newton-Raphson法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给定外部载荷（Fa），内部载荷（Fnr）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。收敛是平衡的度量。4、5、迭代中的Newton-Raphson不平衡量是：不平衡量R实际上从未真正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止迭代，得到平衡解。6、虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内，Newton-Raphson才可以保证收敛。，否则，发散。7、Newton-Raphson迭代法：第3页AF.N.R:缺点：消耗机时！优点：适用于高度非线性问题。BI.N.R:缺点：收敛性较差。优点：消耗机时少。CM.N.R:优缺点介于前两者之间8、三种方法的比较：计算效率：I.N.RM.N.RF.N.R收敛性：F.N.RM.N.RI.N.R因此：当非线性程度不高（一般为加载初期）时用I.N.R，当非线性程度较高（一般为加载后期）时用M.N.R或F.N.R。2.3收敛准则1、Newton-Raphson迭代法的收敛判据：A位移/旋转增量准则:位移收敛准则有时不可靠！B力/力矩平衡准则:不平衡力收敛准则有时也不可靠！C能量准则(ansys中不使用，用户可自己定义)2.4载荷步、子步与平衡迭代步1、载荷步：在ANSYS中，结构上施加的载荷及边界条件由一系列定义的载荷步来描述。子步：给定载荷步中的载荷是逐步施加上去的，载荷的每个增量称之为子步。平衡迭代步：每个子步中为得到收敛解而进行的迭代步。2、a每个载荷步与子步都与“时间”相关联。子步也叫时间步。B在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“时间”代表真实的时间。C对于率无关的静态分析，“时间”表示加载次序。在静态分析中，“时间”可设置为任何适当的值。D建模技巧:在静态分析中，“时间”可设置为给定载荷的大小，这样将易于绘制载荷－位移曲线。2.5非线性求解控制选项第4页1、对于非线性分析，有三种方程求解器供选择：Sparse、波前求解器、PCG2、梁/壳模型，或梁/壳/实体模型：使用sparse求解器。三维实体模型（Solid92或Solid45），自由度数相对较大（100,000）：使用PCG求解器。病态问题或单元刚度矩阵带宽大（包含在输出文件中）：使用sparse求解器。非对称矩阵：使用sparse求解器。注意:如果可使用并行处理，波前求解器可能比sparse求解器速度快，因为波前求解器对并行计算进行了优化3、收敛判据——收敛范数:L1范数，L2范数，无限范数L1范数:用不平衡量绝对值的和与收敛判据作对比。L2范数:用力不平衡量的SRSS（平方和的平方根）。无限范数:检查所有自由度的最大不平衡量。（此选项的作用是为收敛独立检查模型的每个自由度。）4、若响应平稳且时间步长适当小，预测可以加速收敛。B若响应不平稳或分析中涉及大旋转，预测可能导致发散！C对大旋转分析不要使用预测。5、线性搜索是一个非常强大的改进收敛工具。2.6非线性求解过程1、完成非线性分析所需的典型步骤：a.指定分析类型b.指定几何非线性打开或关闭c.为载荷步指定“时间”d.用NSUBST或DELTIM设定子步数e.施加载荷与边界条件f.指定输出控制与监视值g.保存数据库h.求解载荷步2、最大子步数（Nmax）：通过最小时间步长确定子步的最小子步数（Nmin）：通过最大时间步长确定子步的3、如果当载荷移走后，输入系统的能量能恢复，此系统是保守的。如果系统能量耗散了，则此系统是非保守的。保守系统的分析与路径无关，载荷可以按任意顺序施加。非保守系统的分析与路径是相关的，必须根据实际载荷加载历史施加。第5页第二章结构稳定性3.1结构稳定性基本知识1、非线性载荷位移曲线：理想的加载路径非理想结构的加载路径结构的动态响应3.2结构稳定性分析方法：1、计算结构的静态力-位移响应不同的分析技巧：载荷控制、位移控制、弧长法载荷控制：在Newton-Raphson法中使用载荷控制的困难:求解无法越过不稳定点在不稳定点(Fcr)，刚度矩阵KT奇异,使用载荷控制Newton-Raphson法将不收敛。此种分析对描述结构的前屈曲特性有益。位移控制：弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，可用位移控制完成求解。优点:在Fcr点外产生一个稳定求解。弧长法：强制Newton-Raphson迭代沿着与平衡路径相交的圆弧收敛，可得到承受零或负刚度的结构的解。3.3前屈曲分析1、分析方法：线性特征值屈曲、非线性屈曲分析第6页2、线性特征值屈曲：线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首先求解线弹性前屈曲加载状态{P0}的载荷－位移关系；既给定{P0}解{P0}=[Ke]{u0}以得到{u0}：加载{P0}的位移结果{s}：{u0}引起的应力结果假设前屈曲位移很小，可给出任意状态({P},{u}，{s})的增量平衡方程{ΔP}=（[Ke]+[Ks(s)]）{Δu}这里[Ke]：弹性刚度矩阵[Ks(s)]：在应力状态{s}下计算的初始应力矩阵……………………………………将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中，可得到([Ke]+λ[Ks(s0)]){Δu}={0}为满足前面的关系式，必须Det([Ke]+λ[Ks(s0)])=0在有n个自由度的有限元模型中，上式得到n阶的特征值多项式。这种情况下的特征矢量{Δu}代表了叠加在失稳系统上的变形。计算出的最小的特征值是弹性临界载荷{Pcr}；当施加单位载荷时，最小特征值是载荷放大系数；3、特征值屈曲分析包括下面四个主要步骤：a.建模：只允许线性特性，必须定义杨氏模量b.用预应力得到静力解c.得到特征值屈曲解d.查阅结果4、非线性屈曲使用一种逐渐增加载荷的非线性静力分析技术，求得使结构变得不稳定的载荷。可包括：初始缺陷、塑性行为、接触、大变形等其它非线性特征。5、非线性屈曲分析的目标：找到第一个极值点（结构不稳定前的最大载荷）。6、非线性屈曲比特征值屈曲更准确，因此在设计与评价结构时推荐使用非线性屈曲分析7、非线性屈曲分析包括下面三个主要步骤：a.建模（包含一个初始缺陷或扰动）b.求解d.查阅结果8、建模A初始化屈曲时需要一个小扰动（例如小的力）或一个几何缺陷。B特征值屈曲分析出的模态形状可用于产生初始缺陷。C施加的载荷应设置为略高（10to20%）于特征值屈曲分析预测的临界载荷。9、求解不收敛并不一定意味着结构达到最大载荷！10、在结构接近屈曲载荷时切向刚度接近于零。数值不稳定性或物理不稳定性可通过载荷－位移曲线的斜度来分辨。3.4后屈曲分析1、后屈曲分析技巧包括:位移控制、动态分析、弧长法第7页2、位移控制可用于预测简单加载条件下的后屈曲响应主要缺点：复杂加载时通常不清楚施加了多大的位移3、动态分析：使用力载荷控制的静力稳定性问题可用非线性瞬态动力分析求解。动力求解的主要缺点是它不易减弱不需要的动态响应（振动）。4、弧长法只对力控制的比例加载分析有效。不允许面载荷。载荷因子作用于所有的载荷因此，为了产生不稳定性使用几何缺陷比使用扰动载荷更好。5、弧长法分析中时间:与载荷因子相关6、如果弧长法不收敛，则减少初始弧长半径可提高收敛性。减小弧长半径乘子(MINARC)同样可提高收敛性。7、由于采用了过大或过小的弧长半径导致的一个困难是分析沿载荷位移曲线向后“漂移”。可使用子步数(NSUBST)与弧长半径乘子(MAXARC与MINARC)调节弧长半径8、特征值屈曲分析GUI求解步骤:步骤一：设置分析标题步骤二：定义单元类型步骤三：定义实常数和材料特性步骤四：定义节点和单元步骤五：施加边界条件和载荷。步骤六：求解静力分析步骤七：求解屈曲分析。步骤八：进行后处理。步骤九：退出ANSYS9、非线性屈曲分析GUI分析步骤：步骤一：建立模型，给定边界条件。步骤二：恢复数据库文件“buckle2.db”步骤三：进入求解器。步骤四：定义分析类型和选项步骤五：在结点1的Y方向施加一个大小为-250的力步骤六：设置载荷步选项步骤七：选择弧长法步骤八：求解问题步骤九：进行所需要的后处理。第8页第三章塑性分析4.1塑性的基本概念1、塑性:在施加载荷的作用下，材料发生永久性变形（发生不可恢复塑性应变）的材料行为。2、比例极限：多数韧性金属在一定应力水平下的行为是线性的，此应力水平称为比例极限。在比例极限下，应力与应变间的关系是线性的。屈服点：在此的应力水平下，应力－应变响应是弹性的。在屈服点以下，发生的任何应变在载荷移走后都可完全恢复。3、典型的塑性行为：理想弹塑性材料行为或应变强化行为Bauschinger效应：指在拉伸屈服后再压缩时屈服应力减小，因此在拉伸与屈服应力间存在接近2y的差异。4、对于一般应力状态，应力可分解为：静水压应力，应力偏量应力偏量代表了移走静水压应力后的纯剪状态5、等效应力是从应力偏量中推导出的，它是剪切应变能的度量。等效应力用于确定一应力状态是否发生了屈服，即定义屈服判据。6、Mises等效应力：7、塑性应变的大小可能是施加载荷快慢的函数。率无关：塑性应变发生不需考虑时间效应。率相关：塑性与应变率有关。4.2增量塑性理论1、增量塑性理论中有三个基本组成部分：屈服准则流动准则强化准则2、屈服准则是应力状态的单值（标量）度量，将用于对比单轴实验中的屈服应力。因此，知道了应力状态和屈服准则后，程序可确定是否发生了塑性应变。用于多轴情况3、vonMises屈服准则：屈服面是三维空间中一个以1=2=3为轴的圆柱面。在二维情况下，屈服准则可绘制为椭圆。屈服面内的任意应力状态是弹性的，屈服面外的则表示已经发生屈服。第9页4、总的应变增量可分为弹性部分与塑性部分。塑性流动定义了应力与塑性应变增量间的关系。流动准则也描述了发生屈服时塑性应变的方向。从屈服准则推导出的流动方程表明，塑性应变发展的方向垂直于屈服面。这样的流动准则称为相关流动准则。如果使用其它的流动