050第五章二次型(习题二)

１第五章习题课（二）一、复习内容：1、二次型正惯性指数、负惯性指数和符号差等概念；2、两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是他们的秩相等．3、正定二次型的概念；4、正定矩阵的概念；5、二次型是正定二次型的判别方法；6、正定矩阵是否一定是对称矩阵；7、实对称矩阵是正定矩阵的充要条件；8、正定矩阵的行列式一定大于零；9、负定、半正定、半负定和不定二次型的概念．二、习题讲解1、2339P证明：如果A是正定矩阵，那么的A主子式全大于零，所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式．证明：只需证明必要性．设A是正定矩阵，kA为A的一个k级主子式．其中111212122212kkkkkkiiiiiiiiiiiikiiiiiiaaaaaaAaaa２因为A是正定矩阵，所以二次型/12(,,,)nfxxxXAX是正定二次型．对任意一组不全为零的实数12,,,nccc，有12(,,,)0nfccc，从而对任意不全为零的一组实数120,,,0,,,,,,0kiiiccc，有12(0,,,0,,,,,,0)0kiiifccc，而12(0,,,0,,,,,,0)kiiifccc是二次型在12(,,,)nfxxx中除1,,kiixx外其余全取零．设12(,,,)kiiigxxx是以1,,kiixx为变量，以kA为矩阵的二次型，则有12(,,,)kiiigxxx=12(0,,,0,,,,,,0)kiiifxxx，所以12(,,,)kiiigxxx为正定二次型，故0kA．毕2、23410P设A实对称矩阵．证明：当实数t充分大时，tEA是正定矩阵．证：由于A是实对称矩阵，则对任意实数t，tEA也是实对称矩阵．设12(),(),,()nftftft为tEA的顺序主子式，其中３1112121222121122()()()()()()iiiiiiiiiitaaaataaftaatatatatagttht其中(())2,(())1gtihti，1,2,,in．则12(),(),,()nftftft都是首项系数为1的t的实系数多项式．于是由分析学知，存在0M，当tM时，有()1,2,,iftin0,因此，当tM时，tEA是正定矩阵．▍练习：设A是实对称矩阵．证明：当正实数充分小时，EA是正定矩阵．3、23413P如果,AB都是n级正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵．证明：由于,AB都是n级正定矩阵，则,AB都是实对称矩阵，从而AB也是实对称矩阵，而且/fXAX，/gXBX，都是正定二次型．于是对不全为零的实数12,,,nxxx，有/0XAX，/0XBX，故///()0hXABXXAXXBX，即/()hXABX为正定二次型，故AB为正定矩阵．▍4、23415P４证明：2211()nniiiinxx是半正定二次型．证：因为2222213111()()()()ijnjinxxxxxxxx刯?∧22322()()nxxxx21()nnxx22111(2)nniiijiijinnxxxx刯?∧2211()nniiiinxx。即222111()()nniiijiijinnxxxx刯?∧，对任意实数12,,,nxxx，有21()ijjinxx刯?≥0∧，故2211()nniiiifnxx≥0，所以f是半正定二次型．▍5、23416P设/12(,,,)nfxxxXAX是一实二次型，若有实n维向量12,XX使//11220,0XAXXAX证明：必存在实n维向量0X使/000XAX=．证：因为有实n维向量1X，使/110fXAX，说明f不是半负定的；又因为有实n维向量2X，使/220fXAX，说明f不是５半正定的．从而f是不定的．即f的正惯性指数和负惯性指数都不等于零，则存在非退化线性替换XCY使22221211(,,,)npprfxxxyyyy，其中1p≤r．取11,0rjyyy，代入XCY，解得00X，且有/22220011pprfXAXyyyy222210010。▍补充题：6、证明：实二次型的秩r与符号差s有相同的奇偶性，且rsr．证明：设实二次型的正负惯性指数分别为p和q，则,pqrpqs，从而2rsp为偶数，所以r与s有相同的奇偶性．又由020rssrq≥,≤，所以rs≤≤r．7、求t，使二次型2221231231213(,,)4222fxxxxxxtxxxx是正定二次型。解：此二次型的矩阵为1140102tt，若二次型是正定二次型，则应有６1110,4004102tttt，即22408420tt，解得22t，所以当22t时，123(,,)fxxx是正定二次型。