2011年全国各地中考数学真题分类汇编菱形的性质与判定

菱形的性质选择题：1.（2011江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补答案：A2.（2011江苏淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm答案：C3.（2011云南保山）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是___________．答案：164.（2011•青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、24答案：A5（2011，台湾省）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A、8B、9C、11D、12答案：D6.（2011山东济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2B．23C．4D．43答案：C7.（2010广东佛山）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形答案：A8.（2011广东省茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（）A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里答案：B9.（2011•包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、8答案：C10.（2011湖北孝感）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=23，∠C=120°，则点B′的坐标为（）A．(3，3)B．(3，－3)C．(6，6)D．(6，－6)答案：D11.（2011湖南衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）答案：A12.（2011浙江嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A．48cmB．36cmC．24cmD．18cm答案：A填空题1.（2011江苏南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．答案：23．2.（2011重庆綦江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离答案：512．3.（2011四川雅安）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为．答案：（3，4）．4.（2011河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝．故答案为：5．5.（2011福建龙岩）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC=cm．故答案为23．6.（2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为.故第n个矩形的面积为：（12）2n﹣2．解答题：1.（2011南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．解答：解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OB=3，OA=4，∴AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，∴OD=1，∴D（0，﹣1）．（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，∴C（﹣3，﹣5）．设经过点C的反比例函数解析式为y=xk．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，∴y=x15．2.（2011四川广安）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝12BE．EDCBA解答：∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA．……图5又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD．∵DE∥AC∴ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．∴DE＝CE＝BC，3．（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4．（2）在矩形ABCD中，∴AO=OA=2，又∵AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．（3）由勾股定理，得BC=，．，4.（2011湖州）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，5.（2011广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF【解答】解：证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠FAC=∠EAC，∵AC=AC，AE=AF，∴△ACE≌△ACF．菱形的判定一、选择题1.（2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形故选B．ADFEBC2.（2011•莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=21（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4故选C．3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形故选：B．4.(2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形故选D．5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD故选C．二、填空题1.（2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于18cm2．2.（2011福建省三明市，14,4分）如图，▱ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母）故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．三、解答题1.（2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．解答：证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=12AB，DE=12AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）2.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝21AB，DF＝21CD，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝21AB＝AD，而∠DAB＝60°∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE∴平行四边形DEBF是菱形．（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°，∠EDB＝∠DBE＝30°故∠ADB＝90°∴平行四边形AGBD是矩形．3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．4.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．5.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠AEF=∠EAC，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．又∵AE=EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．6.（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形．解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形