2011年全国考研数学三真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)已知当0x时，函数()3sinsin3fxxx与是kcx等价无穷小，则(A)1,4kc(B)1,4kc(C)3,4kc(D)3,4kc(2)已知()fx在0x处可导，且(0)0f,则2330()2()limxxfxfxx(A)'2(0)f(B)'(0)f(C)'(0)f(D)0(3)设nu是数列，则下列命题正确的是(A)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(B)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(C)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(D)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(4)设40ln(sin)Ixdx,40ln(cot)Jxdx,40ln(cos)Kxdx则I,J,K的大小关系是(A)IJK(B)IKJ(C)JIK(D)KJI(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵记为1100110001P，2100001010P，则A(A)12PP(B)112PP(C)21PP(D)121PP(6)设A为43矩阵,1,2,3是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，1k,2k为任意常数，则Ax的通解为(A)23121()2k(B)23221()2k(C)23131221()()2kk(D)23221331()()2kk(7)设1()Fx,2()Fx为两个分布函数，其相应的概率密度1()fx,1()fx是连续函数，则必为概率密度的是(A)12()()fxfx(B)212()()fxFx(C)12()()fxFx(D)1221()()()()fxFxfxFx(8)设总体X服从参数(0)的泊松分布，11,,(2)nXXXn为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111niiTXn，121111niniTXXnn(A)1212,ETETDTDT(B)1212,ETETDTDT(C)1212,ETETDTDT(D)1212,ETETDTDT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设0()lim(13)xttfxxt，则'()fx______.(10)设函数(1)xyxzy，则(1,1)|dz______.(11)曲线tan()4yxye在点(0,0)处的切线方程为______.(12)曲线21yx，直线2x及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积______.(13)设二次型123(,,)TfXXXxAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标准型为______.(14)设二维随机变量(,)XY服从22(,;,;0)N，则2()EXY______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限012sin1limln(1)xxxxx.(16)(本题满分10分)已知函数(,)fuv具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f是(,)fuv的极值，(),(,)zfxyfxy。求2(1,1)|zxy.(17)(本题满分10分)求arcsinlnxxdxx(18)(本题满分10分)证明44arctan303xx恰有2实根。(19)(本题满分10分)()fx在0,1有连续的导数，(0)1f，且'()()ttDDfxydxdyftdxdy，{(,)|0,0,0}(01)tDxyxtytxytt，求()fx的表达式。(20)(本题满分11分)设3维向量组11,0,1T（），20,1,1T（），31,3,5T（）不能由11,,1Ta（），21,2,3T（），31,3,5T（）线性标出。求：(Ⅰ)求a；(Ⅱ)将1，2，3由1，2，3线性表出.(21)(本题满分11分)已知A为三阶实矩阵，()2RA，且111100001111A，求：(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求A(22)(本题满分11分)已知X，Y的概率分布如下：X01Y-101P1/32/3P1/31/31/3且22P()1XY，求：(Ⅰ)()XY，的分布；(Ⅱ)ZXY的分布；(Ⅲ)XY.(23)(本题满分11分)设(,)XY在G上服从均匀分布，G由0xy，2xy与0y围成。求：(Ⅰ)边缘密度()Xfx；(Ⅱ)|(|)XYfxy。