0矢量运算.

1§0补充知识：矢量运算目的及要求:1．理解矢量，掌握其运算法则；2．理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法；3．从矢量角度深刻理解并掌握速度、加速度、力、场强等概念及其计算。21．标量：只有大小和正负而无方向的量。如质量、时间、温度、功、能量、长度等。表示：一般字母：m、t、T，运算法则：代数法则一、矢量和标量的定义及表示矢量的概念起源于对运动和力的研究。力和速度等物理量需要用其大小和方向来表示。31单位A表示：粗体字母A或，其大小用A或表示。AA0AAA0A叫做单位矢量；A也叫做模。2．矢量：有大小及方向的量，如位移、加速度、电场强度等0A叫做单位矢量；4矢量相等：大小相等、方向相同的两矢量相等。矢量平移后保持不变。空间直角坐标系，常用分别表示轴的单位矢量。kji,,zyx,,如果某一矢量的模大小为1，且方向与矢量相同，则称该矢量为矢量的单位矢量，用表示。AAeAABBo5二、矢量的加减法（几何法）1．矢量的加法平行四边形法则①平移使起点重合②作平行四边形③对角线矢量就是合矢量CBACBA已知：、，求BBAO大小:cos222ABBAC方向：cossinarctanABAAcosAsinA6矢量加法的其他法则（1）多矢量相加时，可依次相加。BAcEFFCECBABAcF（2）多边形法则：平移后首尾相接。（3）交换律结合律CBACBAABBA)()(7A2．矢量的减法)(-BABABBBAC矢量减法规律（自己总结）矢量减法规律：起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的末端指向被减矢量的末端的矢量。8矢量的合成与分解注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。FS三、矢量的解析法（矢量投影，代数运算，问题简化）已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。矢量分解不唯一Fab9矢量解析①分矢量的量值都是标量；②可用正、负数值表示分矢量（只有两个指向）；③方向沿同一坐标轴的分矢量可用代数法则运算，从而将矢量运算简化为标量运算。把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量：三、矢量的解析法（矢量投影，代数运算，问题简化）10sinAAycosAAx22yxAAAxyAAarctgjAiAAyxjBiBByxyxBxAyAACxByBxCyCyxAxAyAo①平面直角坐标系jAiAAyx两矢量相加BAjBAiBACyyxx)()(矢量的正交分解（坐标表示）11表示x、y、z方向的单位矢量。xyzxyzAAAAAiAjAk在直角坐标系中，常用kji、、Ax=Acos、Ay=Acos、Az=Acos222zyxAAAAxyOzijkxAyAzA1coscoscos222αβγA矢量的正交分解（坐标表示）12四、矢量的乘法物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。FθsSFWcos如图：AmB大小mA方向。的方向一致；否则相反与ABm,01.矢量的数乘13两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘，其乘积称为标积（点积）cosABBAAB式中θ为两矢量的夹角。2．矢量的点乘(标积)方向上AB在BA等于在B的模的乘积或等于A方向上的分量cosB与AxxyyzzABABABAB讨论：的模的乘积。与的分量BA→cos（3）标积满足交换律、分配律CBACBAABBAA)(（1）（2）特别注意：02AAA14Fθs（4）引入矢量标积后，功就可以表示为SFSFWcos153．矢量的叉乘(矢积)BAC讨论：两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）ABc大小:sinABC方向:垂直于、组成的平面，指向用右手螺旋法则确定。BA)(ABBA（2）AB（1）结合律0AACABACBA)(16kAjAiAAzyxkBjBiBBzyxzyxzyxBBBAAAkjiBA若具有如下两个矢量则()()()yzzyzxxzxyyxABABiABABjABABk17五、矢量函数的导数和微分（1）矢量函数在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量与变量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则称为t的矢量函数，即AAktAjtAitAtAzyx)()()()(恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。18（2）矢量函数的导数•设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果△x→0时，△y/△x有极限（即无限趋近于某个常数），就称这个极限值叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作：00000()()()limxxxfxxfxyfxx19当变量t改变Δt时，)()(tAttAAktAjtAitAtAzyx)()()()(定义：0()limtdAtAdtt000limlimlimyxztttAAAijktttkjizyxAAA)()()()(),()(tAttAAtAttAAtAttAAzzzyyyxxx（2）矢量函数的导数20即000()limlimlimyxztttAAAdAtijkdtttt()()()yxzdAtdAtdAtijkdtdtdt可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。该矢量函数的导数矢量大小为dttAd)(该矢量函数的导数矢量方向其方向为当时的极限方向。即为曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。0tA()AtdtdAA)(tA)(ttA21同理可以得到该矢量函数的导数矢量二阶导数：kdtAdjdtAdidtAddtAdzyx22222222矢量函数导数的性质：dtBddtAdBAdtd)()1(dtAdmAdtdmAmdtd)()2((3)()ddAdBABBAdtdtdtdtBdABdtAdBAdtd)()4(22（3）矢量函数的积分若矢量函数的导数已知，即)(tA)(tB)()(tBdttAd则矢量函数称矢量函数的积分，记作)(tA)(tBdttBtA)()(()()()xyzBtiBtjBtk()()()xyzBtiBtjBtkdt()()()xyzBtdtiBtdtjBtdtkxyzAiAjAk23矢量函数积分的性质：dtBdtAdtBA)()1(为常量）mdtAmdtAm(,)2(dtBA)()3(dtBA)()4(dtBABABAzzyyxx()()()yzzyzxxzxyyxABABiABABjABABkdt24矢量的加减法（几何法）矢量运算矢量的解析把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量矢量的乘法矢量函数的导数和微分25例0-1已知两矢量：kjia34，kjib543，通过矢量运算求：（1）以a、b为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；（2）该平行四边形的面积；（3）该平行四边形的内角。26例0-2已知两矢量函数：jita2)12(，jtib)32(。（1）?t时ba；（2）?t时ba//；（3）?dtad，?dtbd；（4）?20dta，?20dtb27解：（1）kjiba47，12.8661balkjiba67，27.9862bal（2）bakjikji2523115431347.35baS（3）cosabba.58'97139.050265cos0abba28例0-2已知两矢量函数：jita2)12(，jtib)32(。（1）?t时ba；（2）?t时ba//；（3）?dtad，?dtbd；（4）?20dta，?20dtb29解：（1）850)32(2)12(0tttbaba（2）67002)32)(12(0//ttttbaba或（3）idtad2，jdtbd3（4）jijdtidttdta42)2(])12([202020