1-4古典概率模型.

主要内容（1.5学时）一、预备知识：排列与组合公式二、古典概型三、古典概型的计算（重点+难点）第4节古典概率模型（等可能概型）1、加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…,第m种方式有nm种方法.无论哪种方法都可完成。则完成这件事共有n1+n2+…+nm种方法.一、排列与组合公式（预备知识）例：从甲地到乙地有三类交通工具可供选择：汽车、火车和飞机。而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次。则从甲地到乙地共有5+3+2=10种方法.设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…，第m个步骤有nm种方法。则完成这件事共有2、乘法原理12....mnnn种方法例：若一个人有三顶帽子和两件背心，他可以有多少种打扮？注意：加法、乘法原理计算概率时非常重要。可有种打扮233、(不重复)排列(1)nkkn从个不同元素中任取个元素排成一列!(1)(2)(1)()!knnAnnnnknk取法总数为:(1)(2)21!nnAnnnknn时称为全排列:4、重复排列knnnn(1)nkkn从个不同元素中允许重复任取个排成一列,取法总数为:3241n=4,k=3:1,2,3,4例从四个不同数中任取三个排列.求排法总数.3443224A不重复排法:3444464重复排法:!!()!!kknnAnCknkk组合总数为:5、组合(1).nkkn从个不同元素中任取个元素构成一组合(不考虑元素先后顺序)3241n=4,k=3:1,2,3,4例从四个不同数中任取三个,求取法总数.31444CC取法:!knkknnnACkkC组合系数也表示为,=显然:二、古典概型（等可能概型）分析：所有球是完全平等的，没有理由认为某一个球会比另一个更容易取得。即10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891023479108615袋子中装有10个大小、形状相同的球.球编号为1－10。把球搅匀，从中任取一球.取中k号（k=1,2,…,10）的可能性。样本空间S={1,2,…,10}1、举例说明概率的统计定义并未给出计算方法，重复试验困难、并不现实2.古典概型具有以下两个特点的试验称为古典概型（等可能概型）(1)试验的样本空间只有有限个基本事件;(2)各基本事件发生的可能性相同。举例:抛硬币、掷骰子、抽扑克牌、摸奖券等.12{,,,}nSeee121()()...()nPePePen设样本空间由n个样本点构成，A为E中任一事件，且包含k个样本点，则事件A的概率:3.古典概型的计算().kAPAn所包含样本点的个数样本点总数称此为概率的古典定义.（计算方法，非常重要）()()()NAPANS三、古典概型的计算例1袋子中装有10个大小、形状相同的球.球编号为1－10（1~6号为红球，其余白球）。把球搅匀，从中任取一球。记A={摸到2号球},记B={摸到红球}，C={球号大于3的红球}，求事件A、B、C的概率。()10,()1NSNA解:()1()()10NAPANS()6NB()6()()10NBPBNS()3NC()3()()10NCPCNS11222(1)()(2)()APAAPA例将一枚硬币抛三次.设事件表示恰好出现一次正面,求.设事件表示至少出现一次正面,求.3:,28.解古典概型重复排列11()3()()8NAPANS22()7()()8NAPANS{,,,,,,,}SHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT样本空间1(1){,,},AHTTTHTTTH2(2){,,,,,,},AHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTH方法一:2{}ATTT方法二:22()1()()8NAPANS227()1()8PAPA注意：事件A的概率不好计算时，经常先计算对立事件的概率，再计算P(A)121431244{0,1,2,3},(){1},()({1}{2}{3})3*SPAPxPAPxxx例2讨论:如果记样本空间.上述做法是否正确?:.答不正确{0}{},xTTT原因:{2}{,,},xHHTHTHTHH2{0,1,2,3}S样本空间各样本点发生可能性不等,非古典概型.2()({1}{2}{3})PAPxxx{1}{,,},xHTTTHTTTH{3}{}xHHH18{0},Px318{1}(())PxPA即38{2},Px18{3}Px33178888:(1),注意应等可能用古典概型时性条件是必须注意否满足;(2),,,.SSA样本空间中元素较多时不必一一列出只须列出中元素个数3(1990,3,4,112)0,1,2,...,9{05},{05},{05}.MPABC例类似例从等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率:三个数字中不含和三个数字中不含或三个数字中含但不含310:,()SNSC解古典概型样本空间中样本点数38310()7()()15CNAPANSC38()ANAC事件中样本点数{0,5}B三个数字中既含又含18()BNBC的样本点数18310()1()()15CNBPBNSC114()1()11515PBPB28()(5)CNCC事件中样本点数不能选28310()7()()30CNCPCNSC47,3例一袋内装有大小相同的个球,4个白球个黑球.从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.37()SNSC样本空间中样本点数:{3}A解记个球中至少有2个是白球21343433772235CCCCC212243()ANACC样本点数23{3},{3}AA记个球中恰有2个是白球个球中都是白球23AAA则3334()ANAC样本点数2323()()()()PAPAAPAPA例5设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解:}3,2{次摸到红球第次摸到黑球前设A有放回地摸球模型样本空间基本事件总数为3()10101010NSA所包含基本事件数为()664NA310466)(AP故.144.0例6（类似P12--例4抽样问题）设有N件产品，其中有M件不合格品。现从中任取n件，求其中恰有m件不合格品的概率.(超几何分布)具体例子见P12—例4{}mAnm解:记事件件产品中恰有件不合格品,.古典概型不考虑次序nNSC样本空间中样本数::.mmMAaC事件.先取不合格品,共有种取法.,.nmNMbCnm还要取只合格品共有种取法mnmmMNMACC故事件中共有个样本点(乘法原理).()mnmMNMmnNCCPAC所以,0,1,2,......,min(,)mnM例7（P13-例5摸球模型）袋中有a只白球，b只红球，k个人(k=a+b)依次在袋中取一只球。(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样。求：第i(i=1,2,…,k)个取到白球(记为事件B)的概率()aPBab11()kabkabaAaPBAab注意：抽中机会相同，与抽奖次序无关。(1)放回抽样时：(2)不放回抽样时：解：均为古典概型。袋中始终有a+b个球，每个人取出白球的机会相等.kab个人从只球依次取一球的取法:()(1)...(1)kababababkA11{}kabaPBi事件第个人取到白球总取法有:(11)kab个人从只球各取一球的取法例8（P12-例3盒子模型）将n个球随机(每个球等可能)地放到N个盒子中去,，各盒子所放球数不限。试求：（1）指定的n（n=N）个盒子中各有一球的概率（补充）.（2）每个盒子至多有一球的概率.((1)...(1))nNNNNnA或!()()!nNnnANPBNNNnn=6时,P(B)=0.01543解：古典概型。n个球放入N个盒的放法数：...nNNNN(1)指定的n个盒各有一球的放法数：(1)...1!nnn!()nnPAN(2)B={每个盒至多有一球}：.nNanC.选出个盒子放球,选法有!.bnn.在选出个盒子中各放一球,共有种方法!.nnNNCnBA故事件的放法总数有:例9（盒子模型应用-生日问题）设每人生日在365天的可能性相同。求：(1)n（n=365）个人生日各不相同的概率；（2）n个人中至少有两个人生日相同的概率。365nn365364...(3651)()365365nAnPAn=50时,P(B)=0.97.n=64时,P(B)=0.997解：n个人生日各不相同，类似于例8“盒子模型”。365.每个人生日可在天中任一天:365365...365365nS中样本数(1){}:An个人生日各不相同样本数365365364...(3651)nnA(2){}Bn事件个人中至少有两人生日相同BA()1()PBPAn365364...(3651)1365n例10在1—2000的整数中随机取一数，问取到的整数既不能被6整除，也不能被8整除的概率.()()PABPAB20006[]()333,NA(){68}{24}PABPP既能被又能被整除能被整除3332508332000200020004()1{}PAB3332000(),PA2502000()PB:{6},{8}.AB解设取到的数能被整除取到的数能被整除{6},{8}.AB取到的数不能被整除取到的数不能被整除().PAB所求概率为1()1{()()()}PABPAPBPAB20008[]()250,NB200024832000[]2000课堂练习2.骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.13333(:())66PPB答案3.分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去，试求每个房间恰有1人的概率.33*2*12(:())39PB答案101.200,6,:(1)31();(2)3();(3)3().PAPAPB一批产品共个有个废品求任取个恰有个废品的概率任取个全非废品的概率任取个最多只有一个废品的概率12619413200()CCPAC答案：319403200()CPAC312194619433200200()CCCPBCC3200()SNSC解：样本空间中样本点数12116194(1)()ANACC样本点数12619413200()0.0855CCPAC300194(2)()ANAC样本点数319403200()0.9122CPAC101.200,6,:(1)31();(2)3();(3)3().PAPAPB一批产品共个有个废品求任取个恰有个废品的概率任取个全非废品的概率任取个最多只有一个废品的概率01(3)BAA事件31231219461941946194333200200200CCCCCCCCC01,AA事件互斥01()()PBPAA01()()PAPA本节重点总结古典概率的计算备例2(考研原题)将一个骰子抛四次,求至少出现一次6点的概率是多少?解:记事件A={至少出现一次6点}{出现1次6点}事件A发生{出现2次6点}{出现3次6点}{出现4次6点}A={4次抛掷中都未出现6点}4Sn=61(296)抛掷四次的样本空间中样本点数重复排列4Ak=5625事件A中的样本点数Ak62511nP(A)1P(A1296)0.518备例3n个男孩、m个女孩(m=n+1)随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻(记为事件A)的概率.S解:样本空间中样本数方法一:((考虑顺序)m+n)!m!n!mn+1事件A样本数:C