1-9初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质.

第九讲初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质思路初等函数在其定义区间内连续初等函数由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成基本初等函数在定义域内连续连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续证明如下结论：一、初等函数的连续性（一）连续函数的和、差、积、商的连续性定理在其定义域内连续例设函数f(x)和g(x)在点x0连续，f±g、积f·g及商f/g（当g(x0)≠0时）都在点x0连续.则它们的和（差）在R内连续（二）反函数的连续性定理例且连续，那么它的反函数如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续.也在对应的区间xysin上单调增加且连续在其反函数xyarcsin在上单调增加且连续()()()Fxfxgx00lim()lim[()()]xxxxFxfxgx00lim()lim()xxxxfxgx00()()fxgx0()Fx一、初等函数的连续性（三）复合函数的连续性设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，Aufxgfuuxx)(lim)]([lim00则定理一定理二而函数y=f(u)在u=u0连续，0)(lim0uxgxx若定理三若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续，0)(lim0uxgxxAufuu)(lim0),(00xUxo0)(uxg且存在δ＞0，若当时0()fu复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,xy1sinxyO(,0)U(0,)(,0)U(0,)一、初等函数的连续性（四）初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义区间内连续结论注不能说初等函数在其定义域内连续例如定义域中的点都是孤立点不能说函数在该点连续一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用2．利用复合函数的连续性求极限定理二设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，)()(lim)]([lim000ufufxgfuuxx则而函数y=f(u)在u=u0连续，0)(lim0uxgxx若变量代换上述结论可写为))(lim()]([limxgfxgfxxxx00函数符号与极限符号可交换一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用2．利用复合函数的连续性求极限例)()(lim)]([lim000ufufxgfuuxx))(lim()]([limxgfxgfxxxx009323xxxlimxxax)(loglim10命题设u(x)0,u(x)≠10lim()lim()uxavxb则()lim()vxbuxa例5.求解:原式例8.求解:原式)21ln(sin3xxx3x2一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用3．利用初等函数的连续性求极限例xxsinlnlim2201xxlim一切初等函数在其定义区间内连续例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:)()(xgxf)()(xgxf根据连续函数运算法则,可知也在上连续.第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用最值概念设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得对任一x∈I，恒有00()()()()fxfxfxfx则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.注(1)最大值可以等于最小值(2)函数在区间I上可能取不到最值在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理几何意义abxoy12定理的条件是重要的注例y=x在(1,2)内xoy1221311101xxxxxy在[0,2]上xoy12二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0.定理几何意义如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点.xoyabξ如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点.二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用定理3.(介值定理)设,],[)(baCxf且,)(Aaf,,)(BABbf则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数Cxfx)()(则,],[)(baCx且)()(ba))((CBCA故由零点定理知,至少有一点使即C使至少有xAbya)(xfyBOAbxoya)(xfyBC推论在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用O1x例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根;)1,(21取的中点,43x,0)(43f内必有方程的根;),(4321可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则4321内容小结