103抛物线及其性质-5年3年模拟北京高考

110.3抛物线及其性质五年高考考点1抛物线的标准方程1．（2011陕西，2，5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x,2则抛物线的方程是()xyA82xyB82xyC42xyD422．（2010陕西．8,5分）已知抛物线)0(22ppxy的准线与圆07622xyx相切，则p的值为()21.A1.B2.C4.D3．（2012陕西，13，5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．4．（2012重庆．14,5分）过抛物线xy22的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|,|||,1225||BFAFAB则AF=5．（2010重庆，14,5分）已知以F为焦点的抛物线xy42上的两点A、B满足,3FBAF则弦AB的中点到准线的距离为6．（2013广东，20，14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(O，c)(c0)到直线02:yxl的距离为223设P为直线L上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；（2）当点),(00yxP为直线L上的定点时，求直线AB的方程；（3)当点P在直线L上移动时，求｜AF｜．｜BF｜的最小值．7．（2013湖南．21，13分）过抛物线)0(2:2ppyxE的焦点F作斜率分别为21,kk的两条不同直线,,21ll且121,2lkk与E相交于点2,,lBA与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为L．(1)若,0,021kk证明：;2.2pFNFM(2)若点M到直线L的距离的最小值为,557求抛物线E的方程．8．（2012山东，21，13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线)0(2:2ppyxC的焦点，M是抛2物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，0三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为43(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为,2直线41:kxyl与抛物线C有两个不同的交点A，B，L与圆Q有两个不同的交点D，E，求当22||||,S221DEABk时的最小值．智力背景天才数学家阿贝尔阿贝尔（l802~1829，挪威），公认的椭圆函数论的创始人之一，分析学严格化的推动者．发现椭圆函数的加法定理、双周期性，还在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面有巨大的贡献．但阿贝尔不为当时的权威常识．以致贪病交加，英年早逝，我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判另q法、阿贝尔可和性——这就是后人对阿贝尔最好的纪念．考点2抛物线的几何性质1．（2013北京．7，5分）直线L过抛物线yxC4:2的焦点且与y轴垂直，则L与C所围成的图形的面积等于()34.A2.B38.C3216.D2．（2013四川．6,5分）抛物线xy42的焦点到双曲线322yx1的渐近线的距离是()21.A23.B1.C3.D3．（2012安徽，9，5分）过抛物线xy42的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，0为坐标原点．若,3||AF则△AOB的面积为()22.A2.B223.c22.D4．（2012四川，8，5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点).,2(0yM若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM()22.A32.B4.C52.D5．（2011全国．10.5分）已知抛物线xyC4:2的焦点为F，直线y42x与C交于A，B两点，则AFBcos354.A53.B53.C54.D6．（2011辽宁．3,5分）已知F是抛物线xy2的焦点，A，B是该抛物线上的两点，,3||||BFAF则线段AB的中点到y轴的距离为()43.A1.B45.C47.D7．（2013安徽．13，5分）已知直线y=a交抛物线2xy于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为8．（2013江西．14,5分）抛物线)0(22ppyx的焦点为F，其准线与双曲线13322yx相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=9．（2011江西．20,13分）))(,(000axyxp是双曲线22:axE)0,0(122baby上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为51(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，0为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OAOC,0B求的值．解读探究考点内容命题规律命题趋势一、抛物线的标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．1．考查内容：2013年全国各省市对抛物线的定义和标准方程的考查有3次，对抛物线的性质的考查共计2次，如2013北京，7；2013江西，14.2．题型赋分：对抛物线的定义和标准方程的考查以填空题、解答题形式为主，分值为5分和12分，对性质的考查以选择题为主，每题5分．3．能力层级：高考试题对本节能力点的考查以理解和应用为主，试题难度较大．4．考查形式：高考试题的考查形式主要有两种：一种是求抛物线的方程；另一种是研究抛物线的性质．1．趋势分析：抛物线的定义、几何性质以及由几何性质求抛物线的标准方程是高考热点．2．备考指南：备考时应加强对抛物线概念和性质的理解．熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程.二、抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质，智力背景中国古代伟大的数学家一刘徽他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法，在几何方面，提出了“割圈术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法，他利用割圆术科学地求出了圆周率4π=3.14的结果，《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目.知识清单1．抛物线的定义到一定点F和定直线①)(lFl的点的轨迹叫做抛物线，②叫做抛物线的焦点，③叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质【知识拓展】抛物线焦点弦的性质设AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，若,(1xA),,(),221yxBy则;,4)1(22121pyypxxz(2)弦长(sin2||221ppxxAB为弦AB的倾斜角）；;2||1||1)3(pFBFA(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)A，O与B在准线上的射影/B三点共线，B，O与A在准线上的射影/A三点共线．知识清单答案突破方法方法1抛物线的标准方程5在抛物线中，记焦点F到准线L的距离为p，以抛物线的焦点，到准线L的垂线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴所在直线为坐标轴建立坐标系，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程,2,222pyxpxy其中p0．例1（2011山东烟台二模，12分）已知以向量)21,1(为方向向量的直线L过点),45,0(抛物线ppxyC(2:2)0的顶点关于直线L的对称点在该抛物线的准线上．(1)抛物线C的方程；(2)设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行X轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OpBOA(002为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程，解题思路智力背景陈省身数学奖以数学家陈省身命名，每两年评奖一次主要奖励在中国国内从事数学研究或教学工作的数学工作者报奖人的年龄原则上不得超过卯岁．由中国科学院数学所中国数学会作评审历届获奖者：第一届（1987年）：钟家庆、张恭庆；第二届（1989年）：李邦河、姜伯驹；第三届（1991年）：肖刚、冯克勤；第四届（1993年）：丁伟岳、忻元龙；第五届（1995年）：洪家兴、马志明；第六届（1998年）：文兰、王建磐；第七届(2000年)：王诗成、龙以明；第八届（加吃年）：李嘉禹、周向宇；第九届（加∞年）：张伟平、巩馥州；第十届（加晒）年：段海豹、席南华；第十一届(2007年)：宗传明、吉敏.解析(1)由题意可得直线L的方程为,4521xy①过原点垂直于L的直线方程为.2xy②解①②得21x（3分）∵抛物线的顶点关于直线Z的对称点在该抛物线的准线上，.2,2212pp∴抛物线C的方程为.42xy（6分）(2)设),,(),,(),,(002211yxNyxByxA由题意知10yy由0OB2pOA得,042121yyxx（8分）6又,4,4222121xyxy解得,821yy③直线,:22xxyyON即0204xyy④由③④及10yy得点N的轨迹方程为)0(2yx（12分）【方法点拨】求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，则要分类讨论．方法2抛物线定义的应用例2（2012山西太原二模．8，5分）已知点P是抛物线2yx2上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()217.A3.B5.C29.D解题思路解析如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x21的距离d等于点P到焦点的距离｜PF｜．因此点P到点M(O，2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点M(O，2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(O，2)到点)0,21(F的距离，则距离之和的最小值为414217答案A【方法点拨】抛物线的定义的应用抛物线的离心率e=l，体现了抛物线上一的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2||||pxPF或,2||||pyPF使问题简化．三年模拟A组2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：35分钟分值.45分7一、选择题（每题5分，共15分）1．（2013河北邢台一模，9）抛物线xy42上与焦点的距离等于5的点的横坐标是()2.A3.B4.C5.D2．（2013湖南衡阳二模．9）若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹方程是()xyA162xyB322xyC162)0(0162xyxyD或3．（2013浙江杭州一模．8）已知点P是抛物线xy22上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点||||),4,27(PMPA则的最小值是()27.A4.B29.C5.D二、填空题（每题5分，共15分）4．（2013北京顺义高三联考）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线xy42的焦点为F，准线为2，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足如果直线AF的倾斜角为,120那么｜PF｜=5．（2012广东汕头4月模拟．11）已知圆2186:22yxyxC,0抛物线xy82的准线为L，设抛物线上任意一点P到直线L的距离为m，则||PCm的最小值为6．（2012湖北黄冈一模．12）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是三、解答题（共15分）7．（2013江西上饶4月．19）英国伦敦奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩，据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面3210米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误．智力背景数学奇才，计算机之父--冯.诺伊曼约翰.冯.诺依曼(1903～1957)，美籍匈