2011年江苏省高中数学学案17《函数的单调性奇偶性》(苏教版必修1)

第1页第17课时函数的单调性．奇偶性的综合问题【学习目标】1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．【课前导学】1．函数单调性．奇偶性的定义；2．练习：①设xf为定义在,上的偶函数，且xf在,0上为增函数，则2f，f，3f的大小顺序是f3f2f．②如果奇函数xf在区间7,3上是增函数且最小值为5，那么它在3,7上是(B)A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5③下列函数中，在区间0,上是增函数的有（3）．（1）842xxxf；（2）3axxg；（3）22xxh．④若xf为,上的减函数，Ra则12af与af的大小关系是．答案：12afaf⑤判断函数0320203222xxxxxxxxf的奇偶性为既不是奇函数也不是偶函数．提示：可用图像法．【课堂活动】一．建构数学：1．函数奇偶性的判定方法有几种？答案：三种；定义法、图像法、等价形式法．2．与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考？（数与形）二．应用数学：例1已知函数2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，求实数m的值．解：∵2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，∴()()fxfx恒成立，即2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立，第2页∴2(1)0mx恒成立，∴10m，即1m．例2已知函数53()8fxxaxbx，若(2)10f，求(2)f的值．分析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得,ab的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题．解：方法一：由题意得53(2)(2)(2)(2)8fab①53(2)2228fab②①＋②得：(2)(2)16ff；∵(2)10f，∴(2)26f．方法二：构造函数()()8gxfx，则53()gxxaxbx一定是奇函数，又∵(2)10f，∴(2)18g．因此(2)18g所以(2)818f，即(2)26f．例3定义在（－2，2）上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)0，求实数m的取值范围．解：因为f(m－1)+f(2m－1)0，所以f(m－1)－f(2m－1)；因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数，所以f(m－1)f(1－2m)，所以2122122112mmmm，所以21m32．【解后反思】此类问题既要运用函数的奇偶性，又要运用函数的单调性，同时还要优先考虑函数定义域的制约作用．例4已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)0，试问：F(x)=)(1xf在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．分析：根据函数单调性的定义，可以设x1x20，进而判断：F(x1)－F(x2)=)(11xf－)(12xf=2112()()()()fxfxfxfx符号．解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则－x1－x20，因为y=f(x)在(0，+上是增函数，且f(x)0，所以f(－x2)f(－x1)0，①又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)=－f(x2)，f(－x1)=f(x1)②由①②得f(x2)f(x1)0于是F(x1)－F(x2)=)(11xf－)(12xf0，所以F(x)=)(1xf在(－∞，0)上是减函数．第3页例5若(),()fxgx是定义在R上的函数，()fx是奇函数，()gx是偶函数，且21()()1fxgxxx，求()fx的表达式．解：由题意得：221()()11()()1fxgxxxfxgxxx则22111()()211fxxxxx．三．理解数学1．下列结论正确的是（3）．(1)偶函数的图象一定与y轴相交；(2)奇函数的图象一定过原点；(3)偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数；(4)定义在R上的增函数一定是奇函数．2．设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）．中必为奇函数的有____②④____．（要求填写正确答案的序号）．3.设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时,f（x）的图象如下图,则不等式()0fx的解是(2,0)(2,5)．4.定义R在的偶函数xf在0,上是单调递增的,若122aaf1232aaf,求a的取值范围.第4页【课后提升】1．已知()yfx是偶函数，其图象与x轴共有四个交点，则方程()0fx的所有实数解的和是0．2.定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)f(b)等价于|a||b|．3.定义在1,1上的奇函数21xmfxxnx，则常数m０，n０．4．已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=31．5．函数fx()是定义在()11，上的奇函数，且为增函数，若fafa()()1102，求实数a的范围．解：fx()定义域是()11，，1111112aa，即022002aaa或02a，又fafa()()1102，fafa()()112，fx()是奇函数，fafafa()()()11122，fx()在()11，上是增函数，112aa即aa220，解之得21a，0201aa故a的取值范围是01a．第5页6．定义在实数集上的函数f(x)，对任意xyR，，有fxyfxyfxfy()()()()2且f()00．（1）求证f()01；（2）求证：yfx()是偶函数．解（1）令xy0，则有20202ff()[()]，ff()()0001，（2）令x0，则有fyfyffyfy()()()()()202，fyfy()()这说明fx()是偶函数．