08-09数学物理方程D

南通大学2008—2009学年第一学期数学物理方程（闭卷）试卷D第1页共3页试题一二三四五六总分得分一、填空（本题共40分，每空4分）（1）假设G（,x）为Laplace方程在区域上的Green函数，则Dirichlet边值问题0,,,uxux的解可用Green函数表达为______________________________；（2）设nR是一个开集，调和函数()ux在内满足的微分方程是___________________,22xyxy和__________调和函数（填“都是”或“不都是”）,在全空间上有界的调和函数一定是_________________；（3）函数cos,||,()0,||0xxafxxa的Fourier变换()fx=______________________，若已知224,xee则函数2()Axgxe的Fourier变换()gx=______________________（A为正常数）。（4）化简二阶方程4520xxxyyyxyuuuuu为标准形式，所作的变量代换为：________________，该方程为______________________型方程。（5）特征值问题''0,0,(0)'()0.uuxluul的特征值是_______________，特征值所对应的特征函数是___________________。得分评卷人二、（本题共30分，每题10分）（1）用分离变量法求解下列定解问题220,0,0,(0,)(,)0,0,(,0),(,0)0,0.txxtuauxltutulttuxlxxuxxl得分评卷人使用班级信计061，062出卷日期2008年12月10日···················装·····················订·························线···················密封线内答题无效学院：专业：班级：学号：本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。学生姓名（签名）：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2008—2009学年第一学期数学物理方程试卷D第2页共3页（2）用Fourier变换法求解下列问题220,,0,(,0)(),.lim(,)0,xxyyxyuuxtuxxxuxy其中()x连续。（3）推导出求解无界弦的自由振动问题211,,0,(,0)(),(,0)(),ttxxtuauxRtuxxuxxxR的d’Alembert公式，并用该公式求解下列初值问题21112,,0,(,0)0,,1(,0),1ttxxtuauxRtuxxRuxxRx·····················装·····················订·························线························学院：专业：班级：姓名：学号：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2008—2009学年第一学期数学物理方程试卷D第3页共3页四、（本题共30分，每小题10分）（1）证明双曲型方程的齐次化原理(Duhamel原理)：如果(,;)xt是齐次方程定解问题2,0,0,(0,;)(,;)0,0,(,0;)0,(,0;)(,),0ttxxtaxlttlttxxfxxl的解，其中0是参数，则函数0(,)(,;)tuxtxtd是初边值问题2(,),0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)0,0ttxxtuaufxtxltutulttuxuxxl的解。得分评卷人（2）设常数0,利用第一Green公式证明Laplace方程的Robin边值问题0,,uxuufn的解的唯一性。（3）设,||2nxRx，试判断定解问题210,,sin,uxuxx古典解u的存在性，如解存在，求出u在上的最大值和最小值，如解不存在，说明理由。·····················装·····················订·························线························学院：专业：班级：姓名：学号：—————————密————————————封——————————线————————