11回归分析的基本思想及其初步应用

必修3(第二章统计)知识结构收集数据(随机抽样)整理、分析数据估计、推断简单随机抽样分层抽样系统抽样用样本估计总体变量间的相关关系用样本的频率分布估计总体分布用样本数字特征估计总体数字特征线性回归分析回顾复习1、两个变量的关系没有关系相关关系函数关系线性相关非线性相关问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。回顾复习思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：ˆˆˆybxa1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixXyYxynxybXXxnxˆˆaYbXniixnx11niiyny11回归直线必过样本点的中心),(yx3、回归分析的基本步骤:画散点图求回归方程预报、决策这种方法称为回归分析.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.对比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修1-2——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2.回归方程：172.85849.0ˆxyˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测值。从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考：产生随机误差项e的原因是什么？(1)所用确定性函数不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)观测误差。思考:产生随机误差项e的原因是什么？函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。1.用相关系数r来衡量2.公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy求出线性相关方程后，说明身高x每增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢?849.0b相关系数相关关系的测度（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加00rxyrxy当时，表示与为正相关;当时，表示与为负相关①当时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。②当时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。1r10r3.性质：探究：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine1122nniii残差：一般的对于样本点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。e=y-(bx+a))iiyy(iiieyy=残差公式：问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？法一：我们可以通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。iiieybxa（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（3）分析残差图（2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382方法二：用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。2xR解释变量（）对预报变量(y表示)的贡献率。r衡量两个变量之间线性相相关系数：关的强弱r2与R的区别：2r2R在数值上：2221;2;3rRrR、先算相关系数、再算相关指数、算总偏差平方和;4、残差平方和=总偏差平方和－总偏差平方和（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。问题五：归纳建立回归模型的基本步骤相关指数越大，效果越好残差平方和越小，效果越好探索无止境小结1.残差平方和与模型拟合效果关系：2.相关指数与模型拟合效果关系