13-14复变函数A卷参考答案和评分标准

第1页共9页安徽大学2013—2014学年第一学期《复变函数》考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、选择题1、设iz1，则)1(Im2z（C）。A．1B．21C．21D．12、复数iiz23的幅角主值是（A）。A．4πB．4πC．43πD．43π3、函数)(zf在0z点可导是)(zf在0z点解析的（B）。A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分条件也非必要条件4、下列函数中为周期函数的是（C）。A．zLnB．zlnC．zeD．zsinArc5、由幂级数02nnnzc在3z处发散，可知该级数在0z处（D）。A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定其敛散性第2页共9页6、设C是正向圆周11z，则Czdzz1)3/(sin2=（D）。A．i23B．i3C．i43D．i237、若将函数1sinzz以1z为中心展开为洛朗级数，则展开式的收敛域为（C）。A．1zB．z0C．10zD．11z8、是函数322)(sin)2)(1()(zzzzf的（D）。A．可去奇点B．极点C．本性奇点D．非孤立奇点9、函数22)1(1)(zzzf的一个孤立奇点为iz1，1z的类型可以由)(zf在圆环域（B）内的洛朗级数来判定。A．10izB．10izC．10zD．21iz10、下列结论正确的是（D）。A．若)(zf在0z解析，则)(]),([Res00zfzzfB．若0z是)(zf的n级极点，则)(lim)!1(1]),([Res1100zfdzdnzzfnnzzC．若0z是)(zf的可去奇点，则)(lim]),([Res00zfzzfzzD．若)(zP，)(zQ在0z解析，且0)(0zP，0)(0zQ，0)(0zQ，则)()(],)()([Res000zQzPzzQzP第3页共9页二、填空题1、设5z，4)(argiz，则z45ie。2、函数21)(zzf将z平面上的点iz1映射到w平面的象为)8sin8(cos24i和)87sin87(cos24i。3、对数函数zLn的主支zln与各分支的关系为kizz2nlLn），，21(k。4、在单连域D内能够把积分Cdzzf)(写成badzzf)(（其中，a、b分别为C的起点和终点），说明被积函数)(zf在D内解析。5、dzzzzezz1||242sin0。6、幂级数0)(1nnnizi的收敛区域为21iz。7、)01(，是函数)3(ln)(zzf的解析点，在)01(，，)3(ln)(zzf可以展开为泰勒（泰勒/洛朗）级数，并且级数的收敛域为21z。8、函数)1(1)(zezzf的奇点为0，ki2），，，210(k。第4页共9页三、计算题1、已知函数2)(yixyxzf。（1）讨论函数)(zf的可导性。（2）在可导点处求其导数)(zf。解：（1）xxyyxu），(，2(yyxv），1yxu，xyu，0xv，yyv2这4个偏导数在复平面连续。yvxu，yy21得1yxvyu得0x即2)(yixyxzf在（0，-1）可导。（2）1010)(yxyxxvixuzf10)1(yxy2第5页共9页2、（1）试写出函数32)2(1)(zzzf的奇点（不包括）。（2）计算积分Cdzzz32)2(1，其中C为正向圆周23z。解：（1）01z，三级极点22z，二级极点（2）CCdzzzdzzz2332)2(1)2(12312zzi2432zzii83第6页共9页3、已知函数)2)(11)(zzzf（。（1）在圆环域110z内，将函数)2)(11)(zzzf（展开成洛朗级数。（2）由（1）中的洛朗级数能否直接判断函数)(zf的奇点11z的类型？如果能，请写出其类型。（3）在圆环域21z内，将函数)2)(11)(zzzf（展开成洛朗级数。（4）由（3）中的洛朗级数能否直接判断函数)(zf的奇点22z的类型？如果能，请写出其类型。（5）根据上述结果，用留数法计算Cdzzz)2)(1(1，其中，C为正向圆周5.1z。解：1121)2)(11)(zzzzzf（（1）110z111)1(11121)(zzzzzf11)1(0zznn（2）可以由（1）中的洛朗级数直接判断函数)(zf的奇点11z为一级极点。（3）21z1)2(1211121)(zzzzzf211121zz0)2()1(21nnnzz第7页共9页（4）由（3）中的洛朗级数不能直接判断函数)(zf的奇点22z的类型。（5）在正向圆周5.1z内，被积函数有一个孤立奇点11z，11z为一级极点。由（1）中的洛朗级数可知1]1)2)(1(1[Ret，zz故izzidzzzC2]1)2)(1(1[tRe2)2)(1(1，第8页共9页4、将函数212)(2zzzzf在下列区域内展开成洛朗级数。（1）21z（2）13z解：1121212)(2zzzzzzf（1）当21z时zzzzf111121121)(0011221nnnnzzz（2）当13z时13111111311111121)(zzzzzzzzf0131111nnzzz.第9页共9页四、分析题已知函数)2)(1()(zzzzf（1）写出函数)(zf的奇点，并作图表示。（2）分析说明能否将函数)(zf在00z处展开成泰勒级数？（3）将函数)(zf在00z处展开成泰勒级数。（4）分析说明上述泰勒展开式的收敛域，并图示之。解：（1）11z，22z（2）函数)(zf在00z及其邻域1z解析，故可展开成泰勒级数。（3）232131)2)(1()(zzzzzzf211321131zz00)2(32)1(31nnnnnzz1z（4）函数)(zf离00z最近的奇点是11z，二者之间的距离101zz。故函数)(zf在00z处的泰勒展开式的收敛域为：1z