13-一元二次方程的应用

一元二次方程的应用本课内容本节内容1.3一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子．例1当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与一元一次多项式2x-1的值相等？x2-x-2=2x-1.解:原方程可以写成x2-3x-1=0.这里a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，因此3133132122x从而当或时，x2-x-2与2x-1的值相等．31322x31322x例2当y取什么值时，一元二次多项式(y-5)2+9y2的值等于40？(y-5)2+9y2=40解:原方程可以写成2y2-2y-3=0.这里a=2，b=-2，c=-3，b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，因此228227172242y从而当或时，(y-5)2+9y2的值等于40．172y172y例3当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？12解:原方程可以写成2x2+2tx+t2-2t+1=0.12这里a=2，b=2t，c=t2-2t+1，b2-4ac=(2t)2-4×2×(t2-2t+1)=4t2-8(t2-2t+1)=4t2-4t2+16t-8=16t-8.121212（1）当b2-4ac=16t-80，即t时，原方程有两个不相等的实数根；12（2）当b2-4ac=16t-8=0，即t=时，原方程有两个相等的实数根；12（3）当b2-4ac=16t-80，即t时，原方程没有实数根.12练习1.当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元一次多项式3x-2的值相等？答：222.x答：2.t2.当t取什么值，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？2211.42xxt说一说菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．例4一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的．（1）求菱形的两条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．15图1-5分析本题的等量关系是：菱形的面积=.菱形两对角线乘积的一半原方程可以写成x2+20x-4800=0，解:（1）设菱形的竖直方向的对角线长为xcm，则它的水平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可以列出方程1120120100.52xx)(这里a=1，b=20，c=-4800，b2-4ac=202-4×1×(-4800)=400+4×4800=400×(1+48)=400×49，从而x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）．因此2040049202071070.212x即菱形的竖直方向的对角线长为60cm，于是它的水平方向的对角线长为80cm．解:（2）由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因此菱形的边长为221160809001600250050cm.22()即组成菱形的每一根铁条的长度为50cm.例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.图1-6分析本题的等量关系是：=.底面长×宽364解:（1）设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据题意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．从而x1=27，x2=7．因此3440034201710.212x原方程可以写成x2-34x+189=0.这里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x1=27不合题意，应当舍去．答：截去的小正方形的边长为7cm．从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况．结论例4一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的．（1）求菱形的两条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．15例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.练习1.在例5中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为540cm2，那么截去的小正方体的边长是多少？答：边长为5cm.例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.2.例5和第1题中无盖长方体盒子的体积分别是多少？哪个体积大？答：设例5中长方体的体积为V1，第1题中长方体的体积为V2，则有V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)，V1V2.1.在例5中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为540cm2，那么截去的小正方体的边长是多少？例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，如图1-7所示.现在已备足可以砌10m长的墙的材料.大家来讨论：不同的砌法，花园的面积发生什么样的变化？探究图1-7直观地想，为了充分利用已有的一面墙，平行于已有墙面的那面墙应当砌得长一些.这一直观想法是否正确，通过下面的一系列计算，可以进行检验.由于只需要砌三面墙，因此矩形中三条边的长度之和等于10m，平均每条边的长度为m，按照这种砌法，花园的面积为1032101010011.11m.339()请同学们填写下表（可以用计算器计算）与已有墙面平行的一面墙的长度与已有墙面垂直的每一面墙的长度花园的面积310.53.23.63.84.04.24.44.85.05.25.412103=3.5()-103103100911.1112103.2=3.4()-10.883.211.523.111.783122.912.182.812.322.612.482.512.52.412.482.312.42做一做（1）当与已有墙面平行的一面墙的长度从m减小时，花园的面积是否随着减小？103（2）当与已有墙面平行的一面墙的长度从m增加时，花园的面积怎样变化？103答：是.答：花园的面积也增加，但当这面墙长为5m时，花园面积达到12.5m2.此后随着这面墙的长度增加，花园的面积逐步减小.（3）在上面所列的表中，什么时候花园的面积最大？当与已有墙面平行的一面墙长度为5m时，花园的面积最大，为12.5m2.答：当与已有墙面平行的一面墙长度为5m时，花园的面积最大，为12.5m2.（4）有没有一种砌墙方法，可以使花园面积大于12.5m2？先按照下述办法试一试：研究有没有一种砌墙方法，使花园面积为12.55m2？设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为xm，则与已有墙面平行的一面墙的长度为(10-2x)m.根据题意，列出议程x(10-2x)=12.55.这个方程可以写成2x2-10x+12.55=0.讨论这个方程有没有实数解.由此可以看出，是否可以使花园面积为12.55m2.从上面这个具体例子受到启发，你能不能讲出花园面积不可能大于12.5m2的理由？答：没有一种砌法使花园面积大于12.5m2.根据条件得方程2x2-10x+12.55=0；因为b2-4ac=100-100.4=-0.40，此方程无实数根，故花园面积不能为12.55m2.由此可得出，当花园面积大于12.5m2时，建立的一元一次方程无实根.所以没有一种砌法使花园面积大于12.5m2.例6某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到2万册，平均每年增长的百分率是多少？根据题意，得5(x+1)2=7.2.解:设平均每年增长的百分率是x.整理，得x2+2x-0.44=0.解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百分率为20%.练习1.经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为L=-x2+2000x-1000，0x1900.（1）产量是多少件时，可以使总利润达到99万元？答：1000件.（2）总利润可不可能达到99.1万元？答：不可能.因为此时方程无解.2.某城市现有人口100万，2年后为102.01万，求这个城市的人口的平均年增长率．答：1%.小结与复习建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一.一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用．一元二次方程可以写成右端为0，而左端是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是ax2+bc+c=0(a，b，c是已知数，a≠0)．解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程.降低次数的基本方法是因式分解法或直接开平方法.为了能这么做，往往要先配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里.而这些步骤只需要按一般形式的一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)来做，求出解x的公式，称为一元二次方程的求根公式．运用求根公式就可以解每一个具体的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：一元二次方程写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)解两个一元一次方程无实数解是否可以直接用因式分解法或直接开平方法计算b2-4acb2-4ac≥0242bbacxa用求根公式：运用一元二次方程解实际问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便列出方程.要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况．中考试题例1某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？解设每件童装应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因要尽快减少库存，故x应取20故每件童装应降价20元.中考试题例2某项工作，甲、乙两组合做8天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少12天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？解设甲单独完成此项工作需x天，则乙需(x+12)天，根据题意，得，方程两边都乘以x(x+12),约去分母，并整理，得x2-4x-96=0，解这个方程，得：x1=12,x2=-8.经检验：x1=12，x2=-8都是原方程的根，但负数不合题意，所以只取x=12.当x=12时，x+12=24.故，单独完成全部工作甲、乙分别需12天，24天.118+=1+12xx结束