13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yxxayxx211lim；2．求椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；3．求函数z=xy在条件x+y=1下的极值点。4．求函数z=x2+xy+y2-4lnx-10lny的极值。5.求函数z=4(x-y)-x2-y2的极值。6．求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值。7.求函数z=x3y2(6-x-y)，(x0，y0)的极值。8．求函数z=x2+(y-1)2的极值。9.设u(x,y)=e3x-y，x2+y=t2，x-y=t+2，求0tdtdu。10．求ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。11.设f(x,y,z)=x+y2+xz，求f在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。12．求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。13.求函数u=x2+y2-z2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。14．在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。15．设函数f(x,y,z)=cos2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。16．求函数z=arctgxy在位于圆x2+y2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角的范围为：0）。17.设数量场u=222zyxz，试求：（1）gradu；（2）在域1z2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。18.求曲线x2+y2+z2=4a2，x2+y2=2ax在点(a，a，2a)处的法平面方程。19．求x2+z2=10，y2+z2=10在点(1,1,3)处的切线方程。20.设u=f(x,y,z)，(x2,ey,z)=0，y=sinx，其中f，都具有一阶连续偏导数，且0z，求dxdu。21．求函数u=22yxz的全微分；22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。（f具有连续的二阶偏导数)23．设f，g为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求xvxu。24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=yx，v=xy，求yxw2。25．设u+v=x+y，yxvusinsin，求xu，xv。26.设u=xyf(x-2y,x2y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求22xu。27．设x3-3xyz=10，求xyz2。28．设x=u+v，y=uv，z=u2+v2，求zx/，zy/。29.设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f具有连续的二阶偏导数，试求yxz2。30.设u=u(x,y)。已知du=(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy求u。31．设z=f(sinx,cosy,ex+y)，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求xz，22xz。32.设z=(xy)+(yx)，求：yxz2。33.设u=yf(yx)+xg(xy)，其中函数f，g具有二阶连续导数，求yxuyxux222。34.设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz。二、证明题1.用极限定义证明6)4(lim221yxyx。2.用极限定义证明2)2(lim2210yxyxyx。3.设A，B是R2中互不相交的有界闭集。求证：存在开集W，V满足WA，VB，WV=。4.设G1，G2是R2中两个不相交的开集。试证明：G12G=。（其中2G表示G2连同其边界所成集合，称其为G2的闭包）5.设u=f(z)，其中z是由方程z=x+yg(z)所确定的x和y的函数，求证xuzgyu)(。6.证明由方程F(zx,zy)=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程yzyxzx=z。7.设z=f(x,y)=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(yxyxyxyxx，证明：（1）)0,0(xf，)0,0(yf存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。8.设f(x,y)=)0,0(),(0)0,0(),(223yxyxyxx。证明f(x,y)在(0,0)不可微。9.设z=f(x,y)=)0,0(),(,0)0,0(),(,222yxyxyxyx。证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)xf)0,0(，yf)0,0(存在；(3)xyxf),(，yyxf),(在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。10.设10.(0,1)=0；20.(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30.y(0,1)0。求证：存在0，在[-,]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：0)sin,(0yxdxx，并求y/(0)。11.设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(lx-mz,ly-nz)=0（其中l,m,n均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。12.研究含参量积分021)sin(dxxxp(p0)的一致收敛性。13.研究函数F()=dxxex0，在(0,1)内的连续性。14.证明积分F()=0)(2dxex是参数的连续函数。15.设F(y)=1022)(dxyxxyf，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续，在y0的任一点都连续。16.设f(x)在[0,+)可积，除+外只有x=0为瑕点。求证：000)()(limdxxfdxxfex。17.研究函数F()=0)(sindxxxx在(0,2)内的连续性。18.设u(x,y)在平面区域D上有二阶连续的偏导数。证明：u(x,y)满足02222yuxu（称u(x,y)为调和函数）的充要条件是：对D内任一圆周C，且C围成的区域包含于D，都有0Cdsnu(其中n是圆周C的外法向量)。数学分析(三)复习题参考答案一、计算题1．求二重极限yxxayxx211lim；解：原式=yxxxayxx11lim=e。2．求椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；解：椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为n=(-3,-2,3)，平面z=1的法向量为k=(0,0,1)。这两个平面的交角=arccos22223。3．求函数z=xy在条件x+y=1下的极值点。解：当x=21，y=21时，函数z=xy在极大值41。4．求函数z=x2+xy+y2-4lnx-10lny的极值。解：在（1，2）有极小值7-10ln2。5.求函数z=4(x-y)-x2-y2的极值。解：令zx=4-2x=0，zy=-4-2y=0，得x=2，y=-2，则A=zxx=-2，B=zxy=0，C=zyy=-2，AC-B20，且A0，(2，-2)是原函数的极大值点，其极大值为8。6．求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值。解：z(-1,-1)=-2与z(1,1)=-2均为极小值，z(0,0)非极值。7.求函数z=x3y2(6-x-y)，(x0，y0)的极值。解：令zx=3x2y2(6-x-y)-x3y2=x2y2(18-4x-3y)=0，zy=2x3y(6-x-y)-x3y2=x3y(12-2x-3y)=0，x0，y0，解得稳定点(3,2)。又A=zxx|(3,2)=-144，B=zxy|(3,2)=0，C=zyy|(3,2)=-162，AC-B20，且A0，原函数在点(3,2)取得极大值108。8．求函数z=x2+(y-1)2的极值。解：当x=0和y=1时，函数z=x2+(y-1)2有极小值0。9.设u(x,y)=e3x-y，x2+y=t2，x-y=t+2，求0tdtdu。解：),(),(yxGF=1112x=-2x-1，),(),(ytGF=1112t=2t+1，),(),(txGF=1122tx=-2x+2t，且t=0时由原方程组x2+y=t2，x-y=t+2，可得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应地y=-1或y=-4。0tdtdu=2e4或0tdtdu=22e。10．求ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。解：令f(x,y,z)=ze-z+xy-3=0，则fx=y，fy=x，fz=ze-1，在点(2,1,0)处的切平面的法向量为n=(1,2,0)，故切平面方程：x+2y-4=0；法线方程：0212zyx或写成032zyx。11.设f(x,y,z)=x+y2+xz，求f在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。解：gradf|(1,0,1)=(1+z,2y,x)|(1,0,1)=(2,0,1)，0C(32,-32,31)，)1,0,1(Cf=35。12．求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。解：1398)2,1,5(lu13.求函数u=x2+y2-z2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。解：在点M，P处的梯度之夹角为直角。14．在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。解：设椭球面上点(a,b,c)为所求，则gradf(a,b,c)=(2a,2b,2c)，由题设(a,b,c)=AB=(1,-1,0)，其中0，a=，b=-，c=0，代入椭球面方程得：42=1，=21，点(21,-21,0)为所求，且函数f在点(21,-21,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf(21,-21,0)|=2。15．设函数f(x,y,z)=cos2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。解：gradf(0,2,1)=(-ysin(2xy)，-xsin(2xy)+21z，-32zy)|(0,2,1)=(0,1,-4)，函数f在点(0,2,1)处沿l=(0,1,-4)方向的变化率最大，这个方向上的单位向量为e=(0,1717,-17174)，最大变化率为|gradf(0,2,1)|=17。16．求函数z=arctgxy在位于圆x2+y2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角的范围为：0）。解：设a=21，b=23，23),(baxz，21),(bayz，又tg=331),(bayx，=6，由此可得cos=23，cos=21，方向导数=-21。17.设数量场u=222zyxz，试求：（1）gradu；（2）在域1z2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。解：（1）gradu=31r[-xzi-yzj+(x2+y2)k]。其中r=2221zyx。（2）|gradu|0，当x=y=0时，有|gradu|=0，inf|gradu|=0，又令22yx=p，（p0）有|gradu|=22zppzz21