13简谐运动的图像和公式

3简谐运动的图像和公式一、简谐运动的图像1.图像特点:简谐运动的图像是一条_____________曲线,如图所示。正弦(或余弦)2.图像的意义:表示做简谐运动的物体在_____时刻相对于平衡位置的_____。即表示做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化关系。3.图像信息:从图像上可知_____和_____,还可知道任一时刻位移的_____和_____。任意位移振幅周期大小方向【判一判】(1)简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹。()(2)由简谐运动的图像可以知道振动的周期和振幅。()(3)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。()提示:(1)×。简谐运动的图像描述的是振动物体的位移随时间变化的规律,并不是物体运动的轨迹。(2)√。图像在纵轴方向上的最大值等于振幅,相邻两个相同状态的时间间隔等于周期。(3)√。图像反映出简谐振动的物体位移随时间做周期性的变化。二、简谐运动的表达式1.表达式:x=___________或x=Asin(2πft+φ)。2.表达式中各量的意义:(1)“A”表示简谐运动的_____。(2)“T”表示简谐运动的_____,“f”表示简谐运动的频率,它们之间的关系为T=__。(3)“t+φ”或“2πft+φ”表示简谐运动的_____。(4)“φ”表示简谐运动的_______,简称_____。2Asin(t)T振幅周期1f2T相位初相位初相【想一想】有两个简谐运动:x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+),它们的振幅之比是多少?频率各是多少?提示:它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;频率分别为2b和4b。42一、简谐运动的图像的应用思考探究:如图,在小塑料瓶底部穿一小孔,并装满墨水悬挂在支架上,使其在支架所在竖直平面内摆动,操作者沿v方向水平匀速拉动白纸,分析在白纸上留下的图像。(1)白纸上留下的图像是不是振动物体运动的轨迹?(2)由图像可以得到描述振动的哪个物理量?提示:(1)振动物体在竖直平面内来回摆动,所以图像不是振动物体运动的轨迹,但反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律。(2)由图像可测得振动物体偏离平衡位置的最大距离即振幅。【归纳总结】1.图像的意义:图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律,并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其x-t图像是一条正弦(或余弦)曲线。2.由图像可以得出的量:简谐运动的图像如图所示,由此可以得出:(1)由图像可以直接读取振幅A。(2)由图像可以直接读取周期T,进而求出频率f。(3)由图像可知质点在不同时刻的位移。(4)x-t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向。所以,图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小,t1时刻速度方向为负,t2时刻速度方向也为负。(5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。(6)由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向。例如,在上图中t1时刻振动的位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1||x2|,所以|a1||a2|。3.对称性:(1)空间的对称性:经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向有时相同,有时相反。(2)时间的对称性:不论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间都相等。4.周期性:做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就是说其运动具有周期性。不同的简谐运动,其周期一般是不同的。根据简谐运动的周期性可作出判断:(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。(2)若t2-t1=nT+T,则t1、t2两时刻振动物体所处的位置关于平衡位置对称,描述运动的物理量(x、F、a)大小相等,方向相反。12(3)若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。1434【特别提醒】(1)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性,图像随时间的增加将逐渐延伸,过去的时刻图像永远不变。(2)在简谐运动的图像上位移相同的点加速度一定相同;其速度大小相等,但方向可能相同,也可能相反。【典例示范】(多选)(2015·东城区高二检测)一质点做简谐运动,其相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示,由此可知()A.质点振动的振幅是2cmB.质点振动的频率是4HzC.t=2s时质点的速度最大,且方向向下D.t=5s时质点所受的合外力为零【解题探究】(1)怎样判断速度的大小和方向?提示:x-t图像上某一点切线的斜率表示速度,其大小表示速度的大小,正负表示速度的方向。(2)怎样判断合外力的大小和方向?提示:F=-kx,其大小与位移大小成正比,方向和位移方向相反。【正确解答】选A、C。观察图像可知,振幅A=2cm,周期T=4s,频率f==0.25Hz,A对,B错;t=2s时质点在平衡位置,速度最大,t=3s时质点到达最低点,可判断t=2s时质点在向下运动,C对;t=5s时质点在最高点,离平衡位置最远,合外力最大,D错。1T【过关训练】1.(2015·池州高二检测)一质点做简谐运动,其位移-时间图像如图所示,由图像可知()A.t=1s时,质点速度为正的最大值,加速度为零B.t=2s时,质点速度为零,加速度为负的最大值C.t=3s时,质点速度为正的最大值,加速度为零D.t=4s时,质点速度为零,加速度为正的最大值【解析】选C。t=1s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为负,即速度为负,选项A错误;t=2s时,位移为负的最大值,加速度为正的最大值,速度为零,选项B错误;t=3s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为正,即速度为正,选项C正确;t=4s时,质点位移为正的最大值,加速度为负的最大值,速度为零,选项D错误。2.(多选)(2015·温州高二检测)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法中正确的是()A.质点的振动周期为4sB.在8s内质点经过的路程是16cmC.在5s末,速度为零,加速度为正向最大D.t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小不相等【解析】选A、B。由题图可知周期为4s,A正确;振幅A=2cm,8s为2个周期,一个周期通过的路程为4A=8cm,故8s通过的路程为2×8cm=16cm,B正确;在5s末,位移正向最大,速度为零,加速度负向最大,C错误;根据图像的对称性,t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小相同,D错误。【补偿训练】1.(多选)(2015·泸州高二检测)如图所示为某质点做简谐运动的图像,若t=0时,质点正经过O点向b运动,则下列说法正确的是()A.质点在0.7s时,正在远离平衡位置运动B.质点在1.5s时的位移最大C.1.2s到1.4s,质点的位移在增大D.1.6s到1.8s,质点的位移在增大【解析】选B、C。由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在0.7s时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,所以A项错误;质点在1.5s时的位移达到最大,故B正确;质点在1.2s到1.4s过程中,正在远离平衡位置,所以其位移在增加,故C正确;1.6s到1.8s时间内,质点正向平衡位置运动,所以其位移正在减小,故D项错误。2.一质点做简谐运动时,其振动图像如图所示。由图可知,在t1和t2时刻,质点运动的()A.位移相同B.回复力相同C.速度相同D.加速度相同【解析】选C。从题图中可以看出,在t1和t2时刻,质点的位移大小相等、方向相反。由公式F=-kx可知,在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,A、B、D错误;在t1和t2时刻,质点速度方向相同,由于位移大小相等,所以速度大小相等,C正确。【规律方法】简谐运动图像的应用技巧(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向:质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向:由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。二、对简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ0)的理解思考探究:我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式:如图小球P在绕O点以角速度ω做圆周运动,小球在x轴上的投影的运动等效为振动,以小球P在顶点的时刻作为计时零点,A为小球到圆心的竖直距离。(1)小球在x轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量,大小是多少?(2)经过时间t小球投影的位移大小是多少?【归纳总结】1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示质点振动的时间。2.式中A表示振幅,描述的是振动的强弱。3.式中ω叫作圆频率,它与周期、频率的关系为ω==2πf,可见ω、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢。2T4.式中(ωt+φ0)表示相位,描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体又多完成了一次全振动。5.由公式x=Asinωt及振动图像可以看出,简谐运动具有周期性,由此可能产生振动问题的多解性。【特别提醒】(1)写振动方程首先要确定三个量,振幅A、圆频率ω=和初相位φ0。(2)由于振动具有周期性,振动问题往往具有多解性,解决有关振动问题时,要注意多解问题,避免漏解。2T【典例示范】(多选)(2015·山东高考)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。以下判断正确的是()A.h=1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反【解题探究】(1)怎样根据简谐运动的公式求振动频率?提示:根据简谐运动的公式直接读出圆频率ω,再根据ω==2πf求出周期或频率。(2)怎样判断振动物体的速度?提示:将t=0.4s代入位移表达式,通过分析物体的位置来判断速度大小和方向。2T【正确解答】选A、B。t=0.6s时,物块的位移为y=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1m;则对小球h+|y|=gt2,解得h=1.7m,选项A正确;简谐运动的周期是T==0.8s,选项B正确;0.6s内物块运动的路程是3A=0.3m,选项C错误;t=0.4s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。1222s2.5T2【过关训练】1.(多选)有两个振动,其表达式分别是x1=3sin(100πt+)cm,=6sin(100πt+)cm,下列说法正确的是()A.它们的振幅相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致【解析】选B、C。由简谐运动的公式可以看出,振幅分别是3cm和6cm,选项A错误;角速度ω=100πrad/s相同,周期T=也相同,选项B正确;相位差Δφ=为定值,故相位差恒定,选项C正确,D错误。3423412，2.(2015·怀柔高二检测)简谐运动的表达式是x=Asin(ωt+φ),其中简谐运动的相位是()A.AB.ωC.φD.ωt+φ【解析】选D。在x=Asin(ωt+φ)中,A为振幅,ω为圆频率,ωt+φ为相位,φ为初相位,故选D。【补偿训练】1.两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin4πt(cm)和x2=2sin2πt(cm),它们的振幅之比、各自的频率之比是()A.2∶1,2∶1