14年天津学生数学竞赛选拔题(答案)

12014年天津市大学生数学竞赛天津外国语大学选拔考试试题解答姓名学号专业成绩本卷共十四大题，总分110分。一、设()fx是周期为4的可导奇函数，且()2(1),[0,2]fxxx，求(7)f.（本题5分）解：02x时，2()2(1)(1)fxxdxxC，因()fx是奇函数，(0)10fC，故1C，于是，20x时，02x，22()()[(1)1]2fxfxxxx，222,02()2,20xxxfxxxx(7)(3)(1)3fff二、已知2120lim(122)2,axxxxx求a.（本题5分）解：222211222222002lim(122)lim[(122)]xxaxxxxaxxxxxxxx220022222limlimxxxxxaxxaxaeee,2222ln2ln2aeaa三、已知2()ln,xfxdxxC且(1)1,f求().fx（本题5分）解：222211ln()()(),22xCxfxdxfxdxfxC21ln()2xCfx，又(1)1,f11(1)22Cf22ln1()xfx()ln1fxx2四、设220()(1cossin),xFxttdt求40()lim.xFxx（本题5分）解：22220443000(1cossin)()[1cos(2)sin(2)]4limlimlim4xxxxttdtFxxxxxxx22222220001cos(2)sin(2)1cos(2)sin(2)limlimlimxxxxxxxxxx22222001(2)22limlim2xxxxxx五、设0,1,aa求20()lim.xxxaxax（本题10分）解：ln(1)2222200000(1)1ln(1)()11limlimlimlimlimxxxxxaxxxxxxxxxxxaxaeaaaaxxxxxa六、求极限1212[(1)]lim1ln(1)xtxtetdtxx.（本题10分）解：111222112[(1)][(1)](1)=limlimlim11xxttxxxxtetdttetdtxexxxx原式2001111limlim22tttttxetett七、已知曲线432yxaxbxcx经过点(1,1)且在该点处有水平切线，问实数a在什么范围内取值时，曲线没有拐点。（本题10分）解：32432yxaxbxc，(1)4320(1)11yabcyabc,22baca4322(1)yxaxaxax,21264(1)yxaxa,2364124(1)0aa443a,故而，实数443a时，曲线没有拐点。3八、求不定积分222arcsin1(01).1xxdxxxx（本题10分）解：2222222sinarcsin11sin(1sin)cossincossin1xtxxttttdxtdtdtxtttx2222(csc1)cotcotcotcotlnsin222tttttdttdttttdttttC221(arcsin)arcsinln2xxxxCx九、设()yyx是由方程201xyteedtyx确定的隐函数，（1）证明()yx是单调增加的；（2）求lim().xyx（本题10分）解：（1）对201xyteedtyx两边同时求导得：2()10yxeyey210,1xyeye故而，()yx是单调增加的。（2）因()yx是单调增加的，故而，lim()+xyx，于是，21lim()lim11xyxxeyxe十、设函数()yfx由方程32260yxyxy确定，求()fx的极值.（本题10分）解：对方程32260yxyxy两边关于x求导得：2223220yyyxyyxyxy，2222032yxyyyxxy，02yyx或,则驻点为(1,2),222222(222)(32)(2)(6222)(32)yyyxyyxxyyxyyyxyxyyyxxy将1,2,(1)0xyy代入上式得：24(1214)4(1)0(1214)9y,综上，1x为极小值点，极小值为2。十一、求正数a的取值范围，使得曲线xya与直线yx必相交。（本题10分）解：当1a时，若曲线xya与直线yx相切，则ln1xxaxaa4lnlnln1lnxaxaaa1eae于是，当1eae时，曲线xya与直线yx只有一个交点，11eae时，有两个交点。当01a时，曲线xya与直线yx只有一个交点。综上，10eae时，曲线xya与直线yx必相交。十二、已知某厂生产x件产品的成本为212500020040Cxx（元），问：（1）要使每件产品的平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？（本题10分）解：（1）平均成本21250002002500014020040xxCxxx2250001250001(200)04040xxx1000x故而，要使每件产品的平均成本最小，应生产1000件产品.（2）2211()()()500(25000200)300250004040LxRxCxxxxxx1()300020Lxx6000x，于是，若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产6000件产品.十三、设函数(),()fxgx在区间[,]ab上连续，且()fx单调增加，0()1gx，证明：（I）0(),[,];xagtdtxaxab（II）()()()().baagtdtbaafxdxfxgxdx（本题10分）证：（1）由定积分的保序性，以及0()1gx，则有[,]00()1xxxaaaxabdtgtdtdtxa，5（2）设()()()()()xaagtdtxaaFxfxdxfxgxdx,[,]xab()(())()()()()[(())()]xxaaFxfagtdtgxfxgxgxfagtdtfx()xaaagtdtaxax,因()fx单调增加，及0()1gx，则(())()()()0xafagtdtfxfxfx，所以()0Fx.于是，()Fx在[,]ab单调减少，()()0FbFa，即()()()().baagtdtbaafxdxfxgxdx十四、设0,()afx是区间[0,]a上具有二阶导数的非负函数，且(0)0.f若()0(0),fxxa证明002()()0.3aaaxfxdxfxdx（本题10分）证：设002()()()3xxxFxtftdtftdt,[0,]xa002212()()()()()()3333xxxFxxfxftdtfxxfxftdt11211()()()()()()33333Fxfxxfxfxxfxfx1111()()()()()03333Fxfxxfxfxxfx则()Fx单调增加，()(0)0FxF,故而，()Fx单调增加，()(0)0FxF,于是得，()Fx单调增加，()(0)0FaF,即002()()0.3aaaxfxdxfxdx十五、设函数()yfx具有二阶导数,且()0.fx直线aL是曲线()yfx上任意一点(,())afa处的切线,其中[0,1].a记直线aL与曲线以及()yfx直线0,1xx所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为().Va试问a为何值时()Va取得最小值.（本题10分）6解切线aL的方程为()()(),yfafaxa即()()().yfaxafafa于是10()2[()()()()]dVaxfxfaxafafax10112()d()()().322axfxxfafafa可见,()Va在[0,1]连续,在(0,1)可导.令1()2[()()]()(32)0323aVafafafaa,由于()0,fa()Va在(0,1)内有唯一的驻点2.3a并且,当2(0,)3a时,()0Va;当2(,1)3a时,()0,Va因此,()Va在23a处取得最小值.