高等代数【北大版】8.4

§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形的理论推导§5矩阵相似的条件小结与习题第八章λ─矩阵§8.4矩阵的相似§8.4矩阵相似的条件定理：数字矩阵相似与等价.,ABEAEB§8.4矩阵的相似设P为数域若有，,,nnABP00,nnPQP则A与B相似.证：由00PEBQEA0000PQPBQ得0000,PQEPBQA即100,PQ引理1：00EAPEBQ①使∴A与B相似.100.AQBQ0000PEQPBQ§8.4矩阵的相似对任意及任意-矩阵nnAP,,UV0UEAQU使②0VREAV③一定存在-矩阵及,QR00,,nnUVP引理2：§8.4矩阵的相似证：这里且01,,,,nnmDDDP00.D1011,mmmmUDDDD设i)若则令0,m000,.QUDii）若设0,m120121(),mmmmQQQQQ这里为待定矩阵.nniQP于是1010mmQQAQ1121mkkkmmmQAQQAQAQEAQ§8.4矩阵的相似要使①式成立，只需取00101112110kkkmmmmmQDQAQDQAQDQAQDAQUD即00110111201kkkmmmmmQDQDAQQDAQQDAQUDAQ即可.同理可证②.§8.4矩阵的相似设，则A与B相似,nnABP特征矩阵与等价.EAEB定理：证：若A与B相似，则存在可逆矩阵T，于是1TEBT由定理6之推论，得EA与等价.EB1.ATBT使EA1ETBT§8.4矩阵的相似若与等价，EAEB则存在可逆－矩阵，使(),()UV()()().EAUEBV④()R及，使00,nnUVP存在－矩阵(),Q由引理2，对于A，(),()UV0UEAQU⑤0VREAV⑥§8.4矩阵的相似由④，有1UEAEBV0EBREAV即，10UEBREAEBV比较两端，得1nnTUEBRP⑦0TEAEBV⑧§8.4矩阵的相似下证T可逆.由⑦有，.UTEUEBR即EUTUEBR1UTEAVR10EAQUTEAVR10UTEAQVR比较两端，得10EAQVR§8.4矩阵的相似故T可逆.由引理1，A与B相似.0.UTE10.EATEBV于是推论:设则相似,,nnABP,AB特征矩阵与有相同的不变因子.EAEB证:相似,ABEA与等价.EB与有相同的不变因子.EAEB§8.4矩阵的相似矩阵A的不变因子.推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.注：因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子定义为此线性变换的不变因子.①矩阵A的特征矩阵的不变因子也称为EA②对有秩,nnAP().EAn从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积等于,EA1().niidEA即，§8.4矩阵的相似例1.证明：下列三个矩阵彼此都不相似.00001000,01,01000000aaaAaBaCaaaa证：的不变因子是：EA123,,dadada的不变因子是：EB的不变因子是：EC21231,,ddada31231,1,ddda§8.4矩阵的相似故的不变因子各不相同.,,ABC,,ABC彼此不相似.