高等代数【北大版】8.5

§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形的理论推导§5矩阵相似的条件小结与习题第八章λ─矩阵§8.5初等因子一、初等因子的定义二、初等因子与不变因子的关系§8.5初等因子三、初等因子的求法§8.5初等因子一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）把矩阵的每个次数大于零的不变因子nnAC称为A的初等因子.分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一、初等因子的定义§8.5初等因子222221,1,,1,(1),(1)(1),(1)(1)(1)9个则A的初等因子有7个，它们是222(1),(1),(1),(1),(1),例1、若12级复矩阵A的不变因子是:22(),()ii§8.5初等因子①设n级矩阵A的不变因子为已知：12(),(),,()ndxdxdx将分解成互不相同的一次因式()(1,2,,)idxin二、初等因子与不变因子的关系的方幂的乘积:11121112()()()(),rkkkrdx21222212()()()(),rkkkrdx1212()()()().nnnrkkknrdx分析:§8.5初等因子则其中对应于的那些方幂:1ijk()(1)ijkjijk就是A的全部初等因子.②注意到不变因子满足12(),(),,()ndxdxdx1()|(),1,2,,1iidxdxin从而有1,()|(),1,2,,1,1,2,ijijkkjjinjr因此有,12,1,2,,jjnjkkkjr§8.5初等因子即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在的分解式中，次高的必()nd出现在的分解式中.1()nd如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.§8.5初等因子③设级矩阵的全部初等因子为已知.nA在全部初等因子中，将同一个一次因式()1,2,jjr的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数的1，使其凑成n个，设所得排列为1,1(),(),,(),1,2,.njnjjkkkjjjjr§8.5初等因子于是令1212()()()(),1,2,,iiirkkkirdxin则12(),(),,()ndxdxdx就是A的不变因子.§8.5初等因子例1、已知3级矩阵A的初等因子为：2(1),2.求A的不变因子.解：作排列2(1),1,12,1,1得A的不变因子为：23()(1)(2),dx21()()1.dxdx§8.5初等因子结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论2、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子.它们有相同的初等因子.§8.5初等因子1、(引理1)若多项式都与12(),()ff12(),()gg互素，则三、初等因子的求法11221212()(),()()(),()(),()fgfgffgg证：令1122()(),()()(),fgfgd121(),()(),ffd122(),()(),ggd显然，12()(),()().ddd§8.5初等因子由于11(),()1,fg故12(),()1.dd因而12()()()ddd另一方面，由于11()()(),dfg可令()()(),dfg其中11()|(),()|()ffgg又12(),()1,fg由22()|()(),ffg又得2()|().ff2(),()1.fg§8.5初等因子同理可得2()|().gd12()()|()(),fgdd即12()|()()ddd1()|().fd故12()|()()ddd§8.5初等因子1122()()0()0()()fgAfg2112()()0()0()()fgBfg如果多项式都与互素，12(),()ff12(),()gg2、(引理2)设则与等价.()A()B§8.5初等因子证：首先，()(),AB从而二阶行列式因子相同.(),()AB其次，由引理1，有1122()(),()()fgfg1212(),()(),()ffgg从而的一阶行列式因子相同.(),()AB所以，与等价.()A()B2112()(),()()fgfg§8.5初等因子3、(定理9)设将特征矩阵进行,nnACEA初等变换化成对角形12()()()()nhhDh然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.§8.5初等因子证：设经过初等变换化成对角形EA12()()()()nhhDh其中皆为首1多项式，()ih1,2,,in将分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:()ih1212()()()(),iiirkkkirh1,2,,in§8.5初等因子下证，对于每个相同的一次因式的方幂12(),(),,()1,2,,jjnjkkkjjjjr在的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角()D矩阵与等价.()D()D此时就是的()DEA且所有不为1的就是A的全部()ijkj初等因子.标准形，§8.5初等因子为了方便起见，先对的方幂进行讨论.1于是11()()(),1,2,,ikiihgin且每一个都与互素.11()ik()(1,2,,)jgjn如果相邻的一对指数11,1,iikk则在中将与对调位置，()D11()ik1,11()ik而其余因式保持不动，2323()()()(),iiinkkkirgx令1,2,,in由引理2§8.5初等因子11,1111()()00()()iikikigxgx与1,11111()()00()()iikikigxgx等价.§8.5初等因子11111111111()()()()()()()()iinkkikikngxgxgxgx等价.然后对重复上述讨论.1()D1()D从而与对角矩阵()D§8.5初等因子如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含1的方幂是按逆升幂次排列为止.再依次对作同样处理.2,,r最后便得到与等价的对角阵()D().D都是按升幂排列的，的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂()D即为的标准形.EA()D§8.5初等因子例2、求矩阵A的初等因子126103114A解：对作初等变换EA12613114EA20132011114§8.5初等因子210001101312100011002121140110131210001000(1)∴A的初等因子为:21,(1).