高等代数【北大版】9.1

§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间§9.1定义与基本性质一、欧氏空间的定义§9.1定义与基本性质二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间§9.1定义与基本性质问题的引入：性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间、23,RR1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：,cos,夹角：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.§9.1定义与基本性质满足性质：,,,VkR1(,)(,)2(,)(,)kk3(,),(,)4(,)0,当且仅当时0(,)0.一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若,(,)(,)（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）§9.1定义与基本性质①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;(,).R③欧氏空间V是特殊的线性空间则称为和的内积，并称这种定义了内积的(,)实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：§9.1定义与基本性质例1．在中，对于向量nR1212,,,,,,,nnaaabbb当时，1）即为几何空间中内积在直角3n3R坐标系下的表达式.即(,).这样对于内积就成为一个欧氏空间.nR(,)易证满足定义中的性质～.(,)141）定义1122(,)nnababab（1）所以,为内积.(,)§9.1定义与基本性质2）定义1122(,)2kknnababkabnab从而对于内积也构成一个欧氏空间.nR(,)由于对未必有,V(,)(,)注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.nR易证满足定义中的性质～.(,)14所以也为内积.(,)§9.1定义与基本性质例2．为闭区间上的所有实连续函数(,)Cab[,]ab所成线性空间，对于函数，定义(),()fxgx(,)()()bafgfxgxdx（2）则对于（2）作成一个欧氏空间.(,)Cab证：(),(),()(,),fxgxhxCabkR1.(,)()()()()(,)bbaafgfxgxdxgxfxdxgf2.(,)()()()()bbaakfgkfxgxdxkfxgxdx(,)kfg§9.1定义与基本性质3.(,)()()()bafghfxgxhxdx()()()()bbaafxhxdxgxhxdx(,)(,)fhgh24.(,)()bafffxdx2()0,fx(,)0.ff且若()0,fx则2()0,fx从而(,)0.ff故(,)0()0.fffx因此，为内积，为欧氏空间.(,)fg(,)Cab§9.1定义与基本性质21)(,)(,),,(,)kkkkk2)(,)(,)(,)推广：11(,)(,)ssiiii3)(0,)02.内积的简单性质,,,VkRV为欧氏空间，§9.1定义与基本性质2)欧氏空间V中，,,(,)0V使得有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）.3R2.向量长度的定义,,(,)V称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.1§9.1定义与基本性质1)0;003.向量长度的简单性质3）非零向量的单位化：1.2)kk（3）§9.1定义与基本性质1）在中向量与的夹角3R2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：(,)1此即,,cosarc（4）§9.1定义与基本性质对欧氏空间V中任意两个向量，有、(,)（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.、证：当时，0(,0)0,0结论成立.(,)0.当时，作向量0,ttR§9.1定义与基本性质由内积的正定性，对，皆有tR(,)(,)tt2(,)2(,)(,)0tt（6）取代入（6）式，得(,)(,)t22(,)(,)(,)2(,)(,)0(,)(,)即2(,)(,)(,)两边开方，即得,.§9.1定义与基本性质当线性相关时，不妨设、k于是，2(,)(,)(,).kkk2kk(,).(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者，或者0,0,也即线性相关.、§9.1定义与基本性质1122nnababab,,1,2,,.iiabRin3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式2222221212nnaaabbb（7）1）§9.1定义与基本性质22()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx施瓦兹不等式((),())()()bafxgxfxgxdx由柯西－布涅柯夫斯基不等式有((),())()()fxgxfxgx从而得证.证：在中，与的内积定义为(,)Cab()()fxgx2）§9.1定义与基本性质（7）证：2(,)(,)2(,)(,)2222两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量有,、3）三角不等式§9.1定义与基本性质设V为欧氏空间，为V中任意两非零、向量，的夹角定义为、4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：(,),cosarc0,§9.1定义与基本性质①零向量与任意向量正交.注：②即.,,2cos,0设为欧氏空间中两个向量，若内积、,0则称与正交或互相垂直，记作.定义2：§9.1定义与基本性质5.勾股定理设V为欧氏空间，,V222证：2,,2,,222(,)0.§9.1定义与基本性质若欧氏空间V中向量两两正交，12,,,m推广：则22221212.mm证：若(,)0,ijij则21211(,)mmmijij1(,)(,)mmiiijiij222121(,)miimi(,)0,,,1,2,,ijijijm即§9.1定义与基本性质例3、已知2,1,3,2,1,2,2,1在通常的内积定义下，求,(,),,,.解：2222,21321832(,)211232210,2又1,1,5,1222211512827通常称为与的距离，记作(,).d§9.1定义与基本性质设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中12,,,n任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示1122nnxxx1122nnyyy令(,),,1,2,.ijijaijn1111(,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyxy（8）§9.1定义与基本性质定义：矩阵111212122212(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)nnnnnnA称为基的度量矩阵.12,,,n1122,,ijnnnnxyxyAaXYxy（9）则11(,)nnijijijaxyXAY（10）§9.1定义与基本性质①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.注：事实上，对，即,0V0X有(,)0XAXA为正定矩阵.③由（10）知，在基下，向量的内积12,,,n由度量矩阵A完全确定.§9.1定义与基本性质④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设为欧氏空间V的两组1212,,,;,,,nn基，它们的度量矩阵分别为A、B，且1212(,,,)(,,,)nnC设12,,,,ijnnnCcCCC1,1,2,,nikikkcin则§9.1定义与基本性质11(,)(,)nnijkikljlklcc11(,)nnklkiljklcc11nnklkiljklaccijCAC于是(,)ijijBCAC1212,,,nnCCACCCCACC§9.1定义与基本性质欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.五、欧氏空间的子空间