2009年江苏高考数学试题-数列

1数列专题例2.给定实数0,1aa,数列na定义为:nnaa,n=2,3,4,….(1)证明:na是单调数列;(2)试确定数列na中是否有最大值,或最小值?若有,请求出;否则,请说明理由;(3)对任意3,kkN，证明：集合34,,,,,naaaa中有k个数构成等比数列.解（1）证明：当111111,1nnaaann时，∴∴，∴数列na是单调递减.当01a时,∵11111,1nnaann∴,∴数列na是单调递增.综上：na单调数列.(2)(ⅰ)当1a时，na是单调递减.，∴2a最大，其值为a，但无最小值，假设na有最小值，是na中的项，∴11,1,1nnnaaa又∴，∴na，当n充分大，与a为定值矛盾.(ⅱ)当01a时，na是单调递增，∴2a最小，其值为a，但无最大值，假设na有最大值，∵1nnaa，∴1,nnaa∴，当n充分大时，0,0na∴，这与a是给定数矛盾.综上：当1a时，na有最大项，值为a，但无最小项；当01a时，na有最小项，值为a，但无最大项.(3)证明：取出k个数：12123...123...123...12,,...,,kkkkkbababa∵12,,...,123...23...123...kkkk成等差数列，公差为d,2∴11123...123...mmdmkkmbaab，11,mkmN.∴12,,...,kbbb成等比数列.例3.（1）设{}na(1)nN，n是一个公差d不为零的无穷等差数列.若{}na中有两项之和仍是该数列中的项.证明：存在整数m,使1amd.(2)确定并证明（1）中命题的逆命题是否成立？（3）若数列{}na(1)nN，n满足（1）中的条件，则对任意的正整数3k，可从该数列中取出k个项，构成等比数列.解：(1)数列{}na中有不同两项,pqaa,其和仍是数列中第k项,∴()pqkaaapq∴112(2)(1)apqdakd.∴1(1)akpqd,∵,*,pqpqN,∴3pq≥.但k可以为p或q,也可以从1开始取值.∴1kpq是整数,记为m,∴1amd.(2)(1)的逆命题是:若1amd,则数列{}na中必存在两项之和仍在该数列中.这是真命题.∵1amd,∴数列{}na为：,(1),(2),,(1),mdmdmdmnd∴1222(21)(221)maamdmda.∴1a与2a的和必是数列{}na中的第22m项.⑶由于数列满足⑵,∴数列{}na可以写成：,(1),(2),,(1),mdmdmdmnd若*mN,则取23,,,,kmdmdmdmd,必组成公比为m的等比数列.若0,mmZ≤时,必存在一个整数t使()0mtd,∴取21,2,2,,2kdddd,必组成等比数列.例4.我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第1列第2列第3列…第n3列第1行111…1第2行q第3行2q……第n行1nq(1)设第2行的数依次为b1,b2,b3,…,bn，试用n、q表示b1+b2+…+bn的值；(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,…,cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c32c2；(3)能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由.解：(1)b1=q，b2=1+q，b3=1+(1+q)=2+q，bn=(n-1)+q∴b1+b2+…+bn=1+2+…+(n-1)+nq=n(n-1)+nq2。(2)c1=1，c2=1+(1+q)=2+q，c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2由c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q20得c1+c32c2。(3)设x1,x2,x3和y1,y2,y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项1≤km≤n-1，则x1=1，x2=k+q，x3=(1+2+…+k)+kq+q2=k(k+1)2+kq+q2若第k+1列的前三项x1,x2,x3是等比数列，则x1x3=x22∴22k(k+1)+kq+q=(k+q)2即2k-k+kq=02，∴1-kq=2同理，若第m+1列的前三项y1,y2,y3是等比数列，则1-mq=2当k≠m时，1-k1-m≠22∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列4例5.na前n项和为nS，首项为x(xR).满足1,2nnnnSnanN.(1)求证：数列na是等差数列;(2)求证：x为有理数的充要条件是数列na中存在三项构成等比数列.解：(1)∵12nnnnSna①111(1)2nnnnSna②②-①，得1111nnnnnaSSnanan∴1nnanan，∴11nnaa∴数列na是等差数列，首项为x,公差为1.(2)证明充分性：若三个不同的项,,xixjxk成等比数列，且ijk，则2xixkxj，即22xikjjik.若20ikj，则20jik，于是得ijk与ijk矛盾.故220,2jikikjxikj，且ijk、、都是非负整数，故x是有理数.必要性：若x为有理数，且0x，则必存在正整数k,使0xk.令yxk，则正项数列,1,2,...yyy是原数列,1,2,3,...xxxx的一个子数列，只要正项数列,1,2,...yyy中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设0x.设nxm（,mnN,且,mn互质）.又设,kl、N，lk且,,xxkxl成等比数列，则2xkxxl，解得22mlkkn，为使l为整数令kn，则可知,,2xxnxmn成等比数列.事实上，5222222nnnnnxxmnmnnnnnmmmmm.所以22xxmnxn，即三项,,2xxnxmn成等比数列。综上所述，实数x为有理数的充要条件是数列,1,2,3,...xxxx中有3个不同的项，它们组成等比数列.例6.(1)试给出一个函数()fx满足(1)()1fxfx对所有xR成立;(*)(2)举例说明,存在()fx满足(*),但方程()fxx没有实数解;(3)设()fx满足(*),若方程()fxx有一个实数解,则该方程又无穷多个实数解.(1)解,11,11fxxfxxfxx∵，∴fxx满足（）.（2）解0,1()1,fxxccfxxc∵1()10fxxcc满足（），但方程fxx化为,0xcxc与已知矛盾，∴方程无实数解.(3)证：设方程fxx的一个实数解为0x，∴00fxx.又00011,111fxfxfxfxx∴∴01x是方程fxx的实数解.又0000211112fxfxxx，∴02x也是方程fxx的一个实数解.若0xnnN是方程0fxx的一个解，则000111fxnfxnxn，∴01xn也是方程fxx的解，∴这样递推下去，方程fxx必有无穷多个实数解.