2009年高考浙江卷自选模块(数学)试题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试自选模块测试（浙江卷）数学题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）已知正数x，y、z满足x+y+z=1.(1)求证：222222xyzyzzxxy≥13(2)求4x+4y+24x的最小值.（1）证明：因为0,0,0xyz，所以由柯西不等式得2222222222xyzyzzxxyxyzyxzxxy又因为1xyz，所以2222()12222223xyzxyzyxzxxyyxzxxy（2）解：由均值不等式得22344434xyxxyx因为1xyz，所以2221331244xyzzzz故23344443432xyx当且仅当11,42xyz时等号成立，所以2444xyx的最小值为32题号：04“矩陈与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）在极坐标系中，极点为O.已知一条封闭的曲线C由三段圆弧组成:ρ=2cosθ(0≤θ4),ρ=2sinθ(4≤θ2),ρ=2(2≤θ2π).(1)求曲线C围成的区域的面积；(2)若直线l:ρsin(θ+4)=k(k∈R)与曲线C恰有两个公共点，求实数k的取值范围.（1）解：如图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A,C它们的衔接点为B,则四边形OABC是边长为1的正方形，曲线C围成的区域面积2231721111422S（2）解：如图，以极点为原点，以极轴x为轴正半轴建立直角坐标系，其中点M为圆A与x轴正半轴的交点，点N为圆C与y轴正半轴的交点，则小圆弧,BMBN所在的圆方程分别为222211,11xyxy大圆弧NPM所在的圆方程为224xy直线:sin4lk在直角坐标系下的方程为2xyk当l与圆弧NPM相切时，l的方程为22yx当l过,,MBN三点时，l的方程为2yx当l与圆弧,BMBN都相切时，记l与曲线C的切点分别为,EF,且与x轴的交点为D.在等腰直角三角形AED中1,2AEAD所以12OD此时l的方程为12yx因此，要使l与曲线C恰有两个公共点，必须2222212kk或即2222k或k=1+