2009杭州电子科技大学概率论期末试卷(b)

1杭州电子科技大学学生考试卷期末（B）卷考试课程概率论与数理统计考试日期2009年月日成绩课程号A0702140教师号任课教师姓名考生姓名参考答案学号（8位）年级专业一二三四五六七八九十一、选择题，将正确答案填在括号内（每小题3分，共18分）1．对于任意两事件BA,，)(BAP等于（C）A．)()(BPAPB．)()()(ABPBPAPC．)()(ABPAPD．)()()(BAPBPAP2．设随机事件BA,满足)()(ABPBP，则下列结论中正确的是（A）A．)()()(BPAPBAPB．)()()(BPAPBAPC．BA,互不相容D．)()(ABPAP3．随机变量X的概率密度为),(,21)(4)3(2xexfx，则Y（B）)1,0(~NA．23XB．23XC．23XD．23X4．设随机变量X和Y相互独立，其分布函数分别为)(xFX与)(yFY，则随机变量),max(YXZ的分布函数)(zFZ等于（C）A．)}(),(max{zFzFYXB．)]()([21zFzFYXC．)()(zFzFYXD．)()()()(zFzFzFzFYXYX25．设)16,0(~NX，)9,0(~NY，X和Y相互独立，921,,,XXX和1621,,,YYY分别为X与Y的一个简单随机样本，则2162221292221YYYXXX服从的分布为（D）A．)16,16(F；B．)9,16(FC．)9,9(F；D．)16,9(F6．设),(~2NX，其中2已知，nXXX,,,21为来自总体X的一个样本，则的置信度为95%的置信区间为（A）．A．),(025.0025.0ZnXZnX；B．),(025.0025.0tnXtnXC．),(05.005.0ZnXZnXD．),(05.005.0tnXtnX二、填空题（每小题3分，共15分）1．将3个相同的球放入4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则3个盒子各放一个球的概率是83．2．设8.0)(BAP，4.0)(BP，则)(BAP32．3．某人投篮，投中的概率为0.8，现投了3次，则此人投中2次的概率为384.0.4.设X与Y相互独立且都服从)1,0(N，则)52(YXD=29.5．设随机变量)2,1(~UX，则由切比雪夫不等式}121{XP1/4.三、（本题5分）将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误作B的概率为04.0，而B被误作A的概率为03.0，信息A与信息B传递的频繁程度为1:2，若接收站收到的信息是A，求原发信息是A的概率.解：由题意和贝叶斯公式易知：所求概率为656403.031)04.01(32)04.01(32p（5分）3四．（本题10分）设随机变量X的密度函数为elsexaxxf,010,)(，（1）求常数a；(2)求X的分布函数)(xF；（3）方差)(XD.解：（1）因为1)(dxxf（1分）所以110axdx得12a，即2a（3分）（2）X的分布函数()Fx=xdttf)(（4分）1,110,0,0)(2xxxxxF　　　　　（6分）（3）32)()(dxxxfXE（7分）21)()(22dxxfxXE（8分）181)]([)()(22XEXEXD（10分）五．（本题18分）设随机变量),(YX的概率分布律为：XY012-10.30.10.210.10.30求：（1）关于X,Y的边缘分布律；并问X与Y是否相互独立？（2）相关系数XY，并问X与Y是否相关？（3）条件概率}11{YXP.解：（1）关于X的边缘分布律为X012P0.40.40.24（2分）关于Y的边缘分布律为Y-11P0.60.4（4分）因}1{}0{}1,0({YPXPYXP所以X与Y不相互独立.（6分）（2）2.03.014.001.0)1(2.02)(XYE8.02.024.014.00)(XE2.04.016.01)(YE得04.0)()()(),(YEXEXYEYXCov（10分）又2.12.024.014.00)(2222XE14.016.0)1()(222YE得56.0)]([)()(22XEXEXD96.0)]([)()(22YEYEYD21410)()(),(YDXDYXCovXY（15分）所以X与Y相关（16分）（3）条件概率}11{YXP}1{}1,1{YPYXP=434.03.0}0{}1,2{}1,1{XPYXPYXP（18分）5六．（本题6分）某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交800元的保险费，若出事故由保险公司最多赔偿50000元，利用中心极限定理计算：保险公司一年中赚钱不小于200000元的概率.解：记)500,,2,1(iXi为第i辆车获赔偿，由题意994.0006.0)(,006.0)(iiXDXE所求概率)}200000800500(50000{5001iiXP（1分）=)}200000800500(50000{5001iiXP=}994.0006.0500006.05004994.0006.0500006.0500{(50001iiXP（5分）)982.21(（6分）七．（本题12分）设总体X的密度函数为xaeaxfax,0,21)(，nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，nxxx,,,21为样本值.试求a的最大似然估计量；并问所得的估计量是否为a的无偏估计．解：似然函数)(),,(11ininxfxxL（2分）niaxnniea121（4分）取对数niinxaannxxL111ln2ln),,(ln即01ln12niixaandLd（6分）6得nxanii1故a的最大似然估计量nxanii1（8分）因)()()()(11XExEnxEaEnii（9分）而dxxeadxxxfXEax0212)()(（10分）adxeaaxeaaxax])[(100（11分）所以aaE)(，a的估计量是a的无偏估计（12分）八．（本题6分）某产品的一项质量指标),(~2NX，现从一批产品中随机地抽取5件，测得样本方差0078.02s，求方差2的置信水平为95%的置信区间．（143.11)4(2025.0，831.0)5(2975.0，833.12)5(2025.0，484.0)4(2975.0，711.0)4(295.0）解：这里5,05.0n，故2的置信水平为95%的置信区间为：))1()1(,)1()1((22/1222/2nsnnsn（3分）=)484.00078.04,143.110078.04()0645.0,0028.0(（6分）7九．（本题6分）从某种试验物中取来25个样品2521,,,XXX，测量其发热量．若发热量服从正态分布，且测得样本均值与均方差为1195X，323S．试在显著性水平0.05下确定发热量的期望值是否为1210．（0639.2)24(025.0t,0595.2)25(025.0t）解：这里25,05.0n由题意需检验假设1210:0H,备择假设1210:1H（2分）则拒绝域为)1(/2/0ntnsxt（4分）因0639.2)24(139.03/32312101195/025.00tnsxt故不在拒绝域内（即接受0H）,可以认为发热量的期望值为1210.（6分）8十．（本题4分）设随机变量),(YX在矩形}10,20),{(yxyxG上服从均匀分布，试证：随机变量YXZ的概率密度为其它,020,)ln2(ln21)(zzzfZ.证：由题意：),(YX的概率密度为其它,010,20,21),(yxyxf，设Z的分布函数为)(zFZ，则zxyZdxdyyxfzXYPzF),(}{)(（2分）易知：当0z时0)(zFZ；当2z时1)(zFZ；当20z时，}{1}{)(zXYPzXYPzFZ=zzdydxxzz)ln2ln1(2121112求导：得Z的概率密度为其它,020,)ln2(ln21)(zzzfZ（4分）