2009湖北荆门中考数学试题及答案

湖北省荆门市二00九年初中毕业生学业考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答在试卷上无效．3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．录入者注：荆门市2009年中考采取网上阅卷．一、选择题(本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)1．|－9|的平方根是()(A)81．(B)±3．(C)3．(D)－3．2．计算22()abab的结果是()(A)a．(B)b．(C)1．(D)－b．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=()(A)40°．(B)30°．(C)20°．(D)10°．4．从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p1，摸到红球的概率是p2，则()(A)p1=1，p2=1．(B)p1=0，p2=1．(C)p1=0，p2=14．(D)p1=p2=14．5．若11xx=(x＋y)2，则x－y的值为()(A)－1．(B)1．(C)2．(D)3．6．等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是()(A)平行四边形．(B)矩形．(C)菱形．(D)正方形．7．关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为()(A)a=0．(B)a=2．(C)a=1．(D)a=0或a=2．8．函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是()第3题图A'BDAC(A)(B)(C)(D)1111xoyyoxyoxxoy9．长方体的主视图与左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积是()(A)12cm2．(B)8cm2．(C)6cm2．(D)4cm2．10．若不等式组0,122xaxx≥有解，则a的取值范围是()(A)a＞－1．(B)a≥－1．(C)a≤1．(D)a＜1．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．104cos30sin60(2)(20092008)=______．12．定义a※b=a2－b，则(1※2)※3=______．13．将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′(－1，3)，则点P的坐标是______．14．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=______．16．从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是______．17．直线y=ax(a＞0)与双曲线y=3x交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=______．18．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______(用含自然数n的式子表示)．三、解答题(本大题共7个小题，满分66分)19．(本题满分6分)已知x=2＋3，y=2－3，计算代数式2211()()xyxyxyxyxy的值．第18题图BDA(P)C第15题图rBACO第9题图左视图主视图234220．(本题满分8分)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？22．(本题满分10分)某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人．(1)他们一共抽查了多少人？捐款数不少于20元的概率是多少？(2)这组数据的众数、中位数各是多少？(3)若该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？23．(本题满分10分)如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．(1)求证：PA·PB=PC·PD；(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．第20题图NMFEBDAC第23题图BDACEFOP第22题图捐款数/元人数152030105024．(本题满分10分)一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．湖北省荆门市二00九年初中毕业生学业考试试卷数学试题参考答案及评分标准说明：除本答案给出的解法外，如有其它正确解法，可按步骤相应给分．一、选择题(本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)题号12345678910答案BBDBCCDCAA二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．32；12．－2；13．(1，2)；14．52；15．2；16．23；17．－3；18．点B；4n＋3（录入者注：填4n－1(n为正整数)更合适）三、解答题(本大题共7个小题，满分66分)19．解：2211()()xyxyxyxyxy＝22222222()()xyxyyxxyxy第24题图OxyBDACP第25题图BDACOxy＝2214xyxy＝4xy…………………………………………………………………4分当x＝2＋3，y＝2－3时，2211()()xyxyxyxyxy＝－4…………………………6分20．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；…………………………………4分(2)由(1)可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O，∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心．∴OM＝ON．∴BM＝DN．…………………………………………………………………8分21．解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得2x＋3y＝20(且x、y均为自然数)…………………………………………………………2分∴x＝2032y≥0解得y≤203∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20并检验得10,0;xy7,2;xy4,4;xy1,6.xy……………………………………………………………6分所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)10，0；7，2；4，4；1，6．………………………………………………………………7分(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y≥2且x＋y≥8由(1)可知，有二种购买方式．……………………………………………………………10分22．解：(1)设捐15元的人数为5x，则根据题意捐20元的人数为8x．∴5x＋8x＝39，∴x＝3∴一共调查了3x＋4x＋5x＋8x＋2x＝66(人)……………………………………………3分∴捐款数不少于20元的概率是3056611．…………………………………………………5分(2)由(1)可知，这组数据的众数是20(元)，中位数是15(元)．……………………………7分(3)全校学生共捐款(9×5＋12×10＋15×15＋24×20＋6×30)÷66×2310＝36750(元)…………………10分23．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴APPDCPPB，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：∴OM2＝(25)2－42＝4，ON2＝(25)2－32＝11又易证四边形MONP是矩形，∴OP＝2215OMON………………………………………………………………7分24．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解析式为：y＝－2x＋4；…………………………………………………………………5分(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝'22CCCD＝22；易得点P的坐标为(0，1)．………………………………………………………………10分(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，∴C(m，－2)代入得a＝12．∴解析式为：y＝12(x－m)2－2．…………………………5分(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝12(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分(3)由(1)得D(0，12m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分∴12m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分