2009高等数学(1-2)补考参考答案

重庆大学试卷教务处07版第1页共3页重庆大学高等数学（I-2）数学课程试卷课程试卷juanB卷2009~2010学年第二学期开课学院：数学与统计学院课程号：考试日期：2010-9-3一．每小题6分，共60分1．求过三点)6,3,4(),1,1,2(),3,2,1(的平面方程。解：所求平面的法向量为)2,15,23(353411)3,5,3()4,1,1(kjin故所求平面方程为0)3(2)2(15)1(23zyx即05921523zyx2．求函数xyxezsin的全微分dz.解：dxexyxedyyzdxxzdzxyxy)sin(cosdyexxxysin3．设)3,(32xyyxfz，f具有二阶连续偏导数，求yxzxz2,.解：2132yfxfxz，)33(33)33(2222122121122xffyyfxffyxyxz4．求曲面1532222zyx在点)2,1,1(处的切平面方程和法线方程。解：令1532),,(222zyxzyxF，则)6,2,1(2)12,4,2()6,4,2()2,1,1(zyxnF，所以切面方程为0)2(6)1(2)1(zyx即01562zyx法线方程为622111zyx5.计算二重积分dxdyeDyx22，其中:D422yx解：dxdyeDyx22)1(420202eded6.计算三重积分zdV，其中由曲面zyx322与平面3z所围成。解：27)99(21304203330202ddzdzddzdV7.计算曲面积分dxdyyxdydzxzy)()(，其中为柱面)0(222aayx及平面5,0zz所围成区域的外侧。.解：由Gauss公式dvzydxdyyxdydzxzy)()()(=dzzdda50020)sin(add020)225sin5(22023225)425sin35(adaa命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷教务处07版第2页共3页8.判断级数1)1sin1(nnn的敛散性。解：因为61sinlim30xxxx，所以61)1(1sin1lim3nnnn而级数131nn收敛，故1)1sin1(nnn也收敛。9.将函数341)(2xxxf展开成)2(x的幂级数。解：521110132116131211121)(xxxxxf005)2()1(1013)2()1(61nnnnnnnnxx)51()2)(5101361()1(0xxnnnnn10.求微分方程xxeyyy26'5''的通解。解：原方程对应的齐次方程为06'5''yyy特征方程为0652rr，特征根为3,221rr所以对应的齐次方程的通解为xxececy3221又2是特征方程的单根，所以原方程的特解可设为xebaxxy2*)(代入原方程并化减得：1,21ba，所以xexxy22*)21(故原方程的通解为xxececy3221xexx22)21(二．下列命题是否正确？如正确，请给出证明；如不正确，请举出反例。每小题6分，共24分.1．如果0limnnu,则无穷级数1nnu发散.2．如果12nna收敛，则1nna也收敛.3．如果ab0，则0a或0b.4．如果),(yxf在点),(00yx处的全微分存在，则),(yxf在点),(00yx处连续.解：1.正确。假设级数1nnu收敛，则0limnnu，与0limnnu矛盾。2．错误。如121nn收敛，而11nn发散。3．解：错误。如)1,1(),1,1(ba都不是零向量，但有0ba4．正确。),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx0)())(,('))(,('lim000000),(),(00oyyyxfxxyxfyxyxyx重庆大学试卷教务处07版第3页共3页三．每小题8分，共16分.1.设函数)0)((xxy二阶可导且0)('xy，1)0(y，过曲线)(xyy上任一点),(yxP作曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间],0[x上以)(xyy为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设212SS恒为1，求此曲线)(xyy的方程。解：曲线)(xyy上点),(yxP的切线方程为)('xXyyY该切线与x轴的交点为)0,'(yyx'2)]'([2121yyyyxxyS，xdttyS02)(由条件1221SS知'2yy1)(0xdtty对x求导并简化得2)'(''yyy（*）令py'，则dydppy''，代人（*）得2pdydpyp，解得yCp1，即yCdxdy1解得21CxCey注意到1)0(',1)0(yy，可得0,121CC故所求曲线的方程为xey2.计算曲线积分CyxxdyydxI22其中C椭圆形区域1422yx的正向边界.解：作小圆)0(:2221为充分小的正数yxC，方向为顺时针，CyxxdyydxI22122CCyxxdyydx202022221dtdxdyyxxdyydxDC