2010-2011学年线性代数与空间解析几何试卷参考答案及评分标准

郑州轻工业学院大一高等数学复习重点试卷号：A20110119一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(每小题4分,共20分)1、均为阶矩阵，则（D）当时，A与B均可逆2、设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则（A）（A）当mn时，必有0AB(B)当mn时，必有0AB(C)当nm时，必有0AB(D)当nm时，必有0AB3、设三阶方阵的特征值为、、,，则是(D)满秩阵矩阵B的秩为2矩阵B的秩为14、二次型的秩等于(D),,,5、设直线方程为，则该直线（B））（A垂直平面）（B在平面内）（C平行轴）（D在平面内本题得分二、填空题(将正确答案填在题中横线上)(每小题4分,共20分)1、设A为5阶矩阵，且21A,A为A的伴随矩阵,则A=1612、若方阵A满足022EAA，则A可逆，且有1A=E-A213、设向量a、b、c两两正交，且1,2,1cba，则cba24、当t满足条件22t时，二次型xztxyzyxzyxf2224),,(222为正定二次型。5、平面上曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为：三、解答下列各题(每小题8分，共40分)1、用克莱姆法则解线性方程组32532yxyx解：因为,12335,121321DD,131522D…………..6分所以.1,121DDyDDx…8分本题得分本题得分2、设,求及解：4分8分3、若向量组123,,线性无关，而.32,2,321332123211试证：321,,线性无关.证明：设0332211kkk2分得0)32()2()(332123211321kkkkkkkkk由123,,线性无关得32132132132020kkkkkkkkk,它只有零解kkk1230,……..6分故123,,线性无关。……….8分本题得分本题得分本题得分4、求齐次线性方程组123412341234030230xxxxxxxxxxxx的一个基础解系及其通解。解：对齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换化为最简形矩阵A=111111011113...0012112300003分对应的方程组为：124342xxxxx4分令2410,01xx得1311,02xx6分基础解系为：111,0021021。通解为：1122xkk8分5、一平面过平面与012720:2zyx的交线，且过点），（22,2，求其方程。解：设平面方程为127205zyxzyx）（2分因所求平面过点），（22,2代入上面方程得46分故所求平面方程为8分本题得分四、(本题15分)求一个正交变换将二次型：212322213212322),,(xxxxxxxxf化为标准形。解：二次型的矩阵为300021012，2分解特征方程0132EA，得特征值为133,21，5分当321时，解方程组0)3(xEA，得基础解系10001121，，2，3已正交，只须单位化，得1000212121pp，8分当13时，解方程组0)(xEA，得基础解系0113，将其单位化得021213p，11分本题得分取0102102121021P13分于是正交变换PYX将二次型化为标准型：23222133yyyf15分五、应用题(本题5分)显示器色彩制式转换问题彩色显示器使用红(R)、绿(G)和蓝(B)光的叠成效应生成颜色.显示器屏幕的内表面由微粒象素组成,每个微粒包括三个荧光点:红、绿、蓝.电子枪位于屏幕的后方,向屏幕上每个点发射电子束.计算机从图形应用程序或扫描仪发出数字信号到电子枪,这些信号控制电子枪设置的电压强度.不同RGB的强度组合将产生不同的颜色.电子枪由电磁石帮助瞄准以确保快速精确地屏幕刷新.图1彩色显示器的工作原理颜色模型规定一些属性或原色,将颜色分解成不同属性的数字化组合.这就是色彩制式的转换问题.观察者在屏幕上实际看到的色彩要受色彩制式和屏幕上荧光点数量的影响.因此每家计算机屏幕制造商都必须在(R,G,B)数据和国际通行的CIE色彩标准之间进行转换,CIE标准使用三原色,分别称为X,Y和Z.下面是一类典型的将(R,G,B)数据转换成CIE数据(X,Y,Z)的转换方程：0.610.290.1500.350.590.0630.040.120.787RGB=XYZ.计算机程序把用CIE数据(X,Y,Z)表示的色彩信息流发送到屏幕,求本题得分屏幕后方的电子枪将这些数据转换成(R,G,B)数据的转换方程.注：此题可以不进行复杂的数据计算，只要写出表达式即可解：令A=0.610.290.1500.350.590.0630.040.120.787,=RGB,=XYZ,则A=.现在要根据CIE数据(X,Y,Z)计算对应的(R,G,B)数据,就是等式A=中A和已知,求.如果A是可逆矩阵,则由A=可得=A1.5分