2010-2011概率论与数理统计期终考试试卷A答案

第1页上海应用技术学院2010—2011学年第一学期《概率论与数理统计》期（末）（A）试卷参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共计18分）1、181；2、0.3，0.5；3、3，42；4、5、6427；6、4，8；或1，23。二、选择题（每题3分，共12分）1、A；2、B；3、C；4、A。三、解答题（第2小题12分，其余每小题10分，共62分）1、从过去的资料中知，在出口罐头导致索赔事件中，有50%是质量问题，30%是数量短缺问题，20%是包装问题。又知在质量问题争议中，经过协商解决不诉诸法律的占34%，数量问题中，经过协商解决的占60%，包装问题中经过协商解决的占75%。如果出一件索赔事件，问（1）能协商解决的概率是多少？（2）若一件索赔事件协商解决了，问这一案件不属于质量问题的概率是多少？设1A表示索赔事件由质量问题引起，2A表示索赔事件由数量短缺问题引起，3A表示索赔事件由包装问题引起，B索赔事件协商解决，则123()0.5,()0.3,()0.2PAPAPA，123(|)0.34,(|)0.6,(|)0.75PBAPBAPBA……………………………………（2分）（1）112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA0.50.340.30.60.20.750.5…………………………………………….…（5分）（2）111112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)PAPBAPABPAPBAPAPBAPAPBA0.50.340.340.5………………………………………………………………….……（8分）11(|)1(|)10.340.66PABPAB………………………………………….…（10分）2、设随机变量X具有概率密度2(1),01()0Axxxfx其它，（1）求常数A；（2）求Z01P1434第2页1322PX；（3）求随机变量X的数学期望。解（1）1)(dxxf，141)1(102AdxxAx，4A；…………………….（4分）故.0,10),1(4)(2其它xxxxf（2）1322PX3112224211122294(1)4(1)216xxdxxxdxxx………（8分）（3）11223500448()()4(1)3515EXxfxdxxxdxxx………………（12分）3、设随机变量),(YX具有概率密度为8,01(,)0,xyxyfxy其它，（1）求X的边缘概率密度；（2）求Y的边缘概率密度；（3）判断,XY是否相互独立（要说明理由）。解（1）当10x时，3148),()(xxxydydyyxfxfxX，当0x或1x时，0)(xfX，即X的边缘概率密度函数为.,0,10,4)(3其它xxxxfX……………（4分）（2）当10y时，3048),()(yxydxdxyxfyfyY，当0y或1y时，0)(yfY，即Y的边缘概率密度函数为.,0,10,4)(3其它yyyfY…………………（8分）（3）因为()()(,)XYfxfyfxy，所以,XY不独立。……………………………（10分）4、某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为9的随机样本的平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。00000(0.2)0.5793,(0.6)0.7257,(1)0.8413,(1.8)0.9641,(3)0.9987第3页由题意1~5,XNn，9n，标准化55~(0,1)1139XXZN，…….………（2分）（1）5.254.454.45.21313PX0.61.80.7257(10.9641)0.6898………………………………（6分）（2）65630.998713PX………………………………………（10分）5、设总体X服从参数为的指数分布，其密度函数为0,00,)(xxexfx（0），nXXX,,,21为总体X的一个样本，求未知参数的极大似然估计量。解：似然函数为1()()niiLfx11niiinxxniee……………………………（3分）1ln()lnniiLnx…………………………………………………………………（6分）令1ln()0niidLnxd……………………………………………………………..（8分）解得的极大似然估计量为：1ˆniinX………………………………………………（10分）6、某地早稻收割根据长势估计平均亩产为310kg，收割时，随机抽取了10块，测出每块的实际亩产量为1210,,,xxx，计算得101132010iixx。如果已知早稻亩产量X服从正态分布(,144)N，显著性水平0.05，试问所估计产量是否正确？附表：t分布的分位点表：0.05351.6896t0.025352.0301t0.05361.6883t0.025362.0281t标准正态分布表第4页0.051.65u0.0251.96u0.012.33u0.0052.58u解：0:310H，1:310H………………………………………….…………..（2分）取检验统计量31012XUn，当0H成立时，~0,1UN．…………………….…（4分）由于显著性水平05.0，，所以0.02521.96uu。………………………………..（6分）已知10n，320x，所以，3103103202.641.96121210Xun………..（8分）所以拒绝0H，可以认为所估计亩产310kg不正确。…………………...…………….（10分）四、证明题（本题8分）设总体2~(,)XN，12,,,nXXX是来自总体X的一个简单随机样本，当用12XX，X，123121236XXX及1X作为的估计时，试证明X是最有效的。1(2)2EXX，123121121236236EXXX，()EX，1()EX，所以12XX，X，123121236XXX及1X均为的无偏估计。…（3分）11112222(2)nniiiinDXXDXXDXXnnn2222222(1)nnnn………………………………………………….（5分）2()DXn，21()DX，21231211323618DXXX.…………..………（7分）由上可知，()DX最小，即在上述各估计中X最有效。………………………………（8分）