2010中考数学一轮复习一元二次方程复习指导

新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载一元二次方程复习指导一元二次方程同以前学习的一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等一样，也是解决现实问题的有效手段。通过本章复习，能较为熟练的掌握一元二次方程的解法，学会把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），建立二次方程模型，解决实际问题，提升分析和解决问题的能力.一、知识网络二、重点难点本章的重点是一元二次方程的解法及其应用；难点是从对实际问题的数量关系中寻求相等关系，从而抽象出方程模型；关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。三、课程目标1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，会用直接开方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。3、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。4、理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况；5、掌握一元二次方程根与系数的关系式，会进行简单的运用。四、知识要点回顾（1）一元二次方程基本概念、解法；（2）一元二次方程的根的判别式；（3）一元二次方程的根与系数的关系（又称韦达定理）；（4）一元二次方程的根的判别式与根与系数关系综合应用；（5）一元二次方程的应用.五、中考考点点击直接开方法实际问题分析抽象数量关系一元二次方程解一元二次方程配方法公式法因式分解法一元二次方程的解解释检验新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载一元二次方程是历年中考的重点内容．对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况．考试题型以填空、选择，解答题为主.分值一般为10－15分。下面举例说明“一元二次方程”一章内容的主要考点．考点一一元二次方程的基本概念基础知识链接：(1)注意一元二次方程定义中的三个条件(只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程)，是判断一个方程是否为一元二次方程的依据；(2)一般地,确定a、b、c的值,要先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(3)设x0是方程ax2+bx+c=0的根，则ax20+bx0+c=0．例1关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为()．A．1B．－1C．1或－1D．21分析：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为0，则其常数项c=0．解：由题设知a－1≠0，且a2-1=0．解得a=－1．故选B．评注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定义中，要特别注意a≠0的条件．在含有字母的一元二次方程的试题中，往往在a≠0设下陷阱，要特别引起注意．考点二一元二次方程的解法基础知识链接：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.例2解方程x(x1)=2．有学生给出如下解法：∵x(x1)=2=1×2=（1）×（2），∴1,12;xx或2,11;xx或1,12;xx或2,11.xx解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=1．∴x=2或x=-1．请问：这个解法对吗？试说明你的理由．解：对于这个特定的已知方程，解法是对的．理由是：一元二次方程有实数根的话，可能有两个相等的实数根或两个不相等的实数根．该学生考虑了两因数x、x1各种可能的情况，并且已经将两个实数根都求出来了，所以是对的．评注：解方程x(x1)=2，固然可以运用因式分解的常规方法，然而命题者却突破常规思维模式，运用分类讨论和转化的思想求解，意在考查学生的创新思维能力.考点三一元二次方程根的判别式新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载基础知识链接：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式为b2－4ac．利用“b2－4ac”不解方程可以判别方程根的情况：①当24bac0时，方程有两个不相等的实数根；②当24bac=0时，方程有两个相等的实数根；③当24bacO时，方程没有实数根．也可以根据根的情况确定未知系数的取值范围．例3已知关于x的一元二次方程01)12()2(22xmxm有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()．A．43mB．43mC．43m且2mD．43m且2m分析：由方程有两个不相等的实数根，知其判别式大于0．解：依题意得(2m+1)2－4(m-2)2=20m-15＞0,解得m＞43；又二次项的系数m-2≠0,即m≠2．于是m的取值范围是43m且2m.故选C．评注：解答本例时，常常容易忽视二次项的系数不为0的隐含条件．考点四可化为一元二次方程的分式方程的解法基础知识链接：解分式方程的一般方法是通过去分母将分式方程转化为整式方程．解分式方程的步骤有三，即去分母，化分式方程为整式方程；解这个整式方程；验根．去分母的关键是找出各分母的最简公分母．验根的方法是把变形后整式方程的根代入到最简公分母或原方程中去检验．例4解方程:113162xx.分析：本例最简公分母是x2-1．根据等式的性质，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出的解一般代入最简公分母进行检验，使最简公分母为0的根便是增根．解：去分母，得6-3(x+1)=x2-1，即x2+3x-4=0．解得x1=1，x2=-4．经检验，x1=1是增根．故原方程的根是x2=-4．评注：解分式方程验根是必不可少的步骤，因为在去分母的过程中，扩大了未知数的取值范围．考点五一元二次方程的应用基础知识链接：建立方程模型解决实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题(设元、列方程），然后通过解决数学问题达到解决实际问题(列方程、写出答案)的目的．在这个过程中，列方程起着关键的作用．列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：①审题；②设元(未知数)；③找出等量关系；④列方程；新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载⑤解方程；⑥检验；⑦作答．例5今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用871小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少．分析：根据行程问题的等量关系，不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车运行全程所用时间－第六次提速后特快列车运行全程所用时间＝871小时．解：设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据题意，得x1500－401500x=815．去分母，整理得x2+40x－32000=0．解得x1=160，x2=－200．经检验，x1=160，x2=-200都是原方程的解，但x2=－200＜0，不合题意，舍去．∴x=160，x+40=200．答：第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时．评注：我国铁路实现了第六次大提速，不仅给旅客的出行带来了更大的方便，更重要的是提高了国民经济建设的速度，是社会的热点问题之一．以社会热点问题为背景，编拟方程应用题，是历年中考的亮点之一．例6为响应承办“绿色奥运”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的人数比原计划增加了50％，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？分析：设原计划有x人参加植树活动，实际参加植树活动的有(x+50％x)人，共植树180棵．于是原计划每人植树x180棵，实际每人植树xx5.0180棵．等量关系是：原计划每人植树棵数－实际每人植树棵数＝2棵．解：设原计划有x人参加植树活动，根据题意得18018020.5xxx．解这个方程，得30x．经检验，30x是原方程的解且符合题意．此时，0.5300.53045xx．答：实际参加这次植树活动的人数为45人．评注：在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系是解决问题的关键，灵活新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台新课标第一网----免费课件、教案、试题下载设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据具体情况把握好解题的每一步．一元二次方程是初中数学的重要内容，除了以上考点之外，常与函数、三角、几何等内容相结合，形成综合性试题，限于篇幅，本文就不一一赘述了．