2010年下期《数学模型》考试试卷(A卷)参考答案

第1页，共6页1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（A）。A.允许决策模型B.状态转移模型C.马氏链模型D.多步决策模型4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（D）。A.参照惯例的席位分配结果是较合理的B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C.席位分配一类问题的Q值法是较公平的D.存在满足四个公平分配公理的分配方法10、“层次分析模型”中成比对矩阵)(ijaA如果满足如下（D）式，则称为一致阵。A、0ijaB、jiijaa1C、11niijaD、ikjkijaaa二、填空题（2分/空×10空=20分）1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是kkkkdss)1(1。2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是)1(2iiiinnpQ。7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。三、问答题（40分）1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量4分（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大maxz=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2120（木工工时限制）2x1+x250（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：maxS=50x1+30x2s.t.4x1+3x21202x1+x250x1,x203、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应第2页，共6页如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’)解：令0,1,ijijxi指派第人完成第项工作不指折派第项工作目标函数：111231421222431323334414244min1518212419231826171619192117Zxxxxxxxxxxxxxx约束条件：1121314112223242132333431424344411..11xxxxxxxxstxxxxxxxx4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’)答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究…；（2）能力：想象力、洞察力…。1.某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。解：设12345,,,,xxxxx分别表示购买证卷A,B,C,D,E的金额（万元），则到期后的净收益为12345max0.0430.0270.0250.0220.045zxxxxx约束条件为；（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即234400xxx（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即12345123452251.4xxxxxxxxxx（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。12345123459154325xxxxxxxxxx(4)投资总额为1000万123451000xxxxx第3页，共6页整理得到（以百万为单位）：12345234123451234512345max0.0430.0270.0250.0220.04546644360410230..0,1,2,3,4,510izxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxixxxxx三、（传染病模型）（25分）模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记()it表示时刻t的病人人数，求()it所满足的微分方程，求出()it并对进行讨论（0(0)ii）。模型二：用()()itst、分别表示在t时刻传染病人数和健康人数，0(0)ii。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，()()itsiN；求t时刻传染病人数()it，并对模型及()it进行讨论。解：模型一：由假设在时间t内，增加的病人人数为()()()ittititt，于是得到微分方程为0()()(0)dititdtii解得0()titie。讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i，()it，这显然不符合实际情况。模型二：由假设在时间t内，增加的病人人数为()()()()ittititstt，于是得到微分方程：0()()()(0)()()dititstdtiistitN模型求解：原方程变为0()()[()](0)dititNitdtii，利用分离变量法得到，()()[()]ditdtitNit或()()[()]ditdtitNit，1111()()()()dittcNiiNit，或11{ln()ln[()]}itNittcN第4页，共6页化简得到()1NtNtCNeitCe，其中1cNce，由初始条件0(0)ii得00icNi，故0()111NtNtNtCNeNitCeNei讨论：首先由()()[()]dititNitdt知，当()2Nit时，()ditdt达到最大值，由0()211NtNNitNei，推出()ditdt达到最大值的时刻为110ln1mNtNi，这时病人人数增加最快，预示着传染病高潮的到来；第二，mt与、N成反比，既总人数和传染强度增加时，传染病高峰来的越快。同时，如果知道了传染强度（可由统计数据给出），总人数N，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当t，()itN，既所有的人将要生病，这与实际不符。主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。四、（共20分）学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位：321,,AAA。假设相对于总目标选择工作C，准则“工资水平1c”和“个人发展2c”21,cc的权重为Tw]5.0,5.0[0，相对于准则“工资水平1c”，方案321,,AAA的判断距阵为12/15/1212/1521A，相对于准则“个人发展2c”，方案321,,AAA的判断距阵为1535/113/13/131B，试用和法求方案321,,AAA对总目标的权重。答：12/15/1212/1521A中各列归一化8/17/117/28/27/217/58/57/417/10各行求和385.0830.0785.1再归一化128.0277.0595.0=1w6分C1c2c1A2A3A第5页，共6页131/31/311/5351B中各列归一化0.2310.3330.2170.0770.1110.1300.6920.5560.652求各行平均值0.2600.1060..633=2w6分所以三个方案321,,AAA对总目标的权重为：1200.5950.2600.430.5(,)0.2770.1060.190.50.1280.6330.383分故三个待选单位321,,AAA的排名为1，3，2。1、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策（D）。A.称之为状态B.记为sk=(xk,yk)C.是集合S中的元素D.都是集合D中的元素8、“传染病模型”中所未涉及的模型是（B）。A、SI模型B、SIS模型C、SID模型D、SIR模型1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（A）。A.允许决策模型B.状态转移模型C.马氏链模型D.多步决策模型4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（D）。A.参照惯例的席位分配结果是较合理的B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C.席位分配一类问题的Q值法是较公平的D.存在满足四个公平分配公理的分配方法8、“经济增长模型”中，要保持总产值)(tQ增长，即要求（C）。A、0dtdQB、0dtdQC、0dtdQD、0LQ10、“层次分析模型”中成比对矩阵)(ijaA如果满足如下（D）式，则称为一致阵。A、0ijaB、jiijaa1C、11niijaD、ikjkijaaa二、填空题（2分/空×10空=20分）1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是kkkkdss)1(1。2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是)1(2iiiinnpQ。7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。三、问答题（40分）第6页，共6页1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’)解：令0,1,ijijxi指派第人完成第项工作不指折派第项工作目标函数：111231421222431323334414244min1518212419231826171619192117Zxxxxxxxxxxxxxx约束条件：1121314112223242132333431424344411..11xxxxxxxxstxxxxxxxx4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’)答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究…；（2）能力：想象力、洞察力…。薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆