2010年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷

欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》2010年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括8道填空题和3道解答题，全卷满分120分，考试时间为150分钟.一、填空题（每小题8分，共64分）1、已知函数22()23,fxxaxa且方程()8fx有三个不同的实根，则实数a=.2、设x表示不超过x的最大整数，则lg1lg2lg3lg2010.3、12100,,,lll为100条共面且不同的直线，若其中编号为4()kkN的直线互相平行，编号为41k的直线都过定点A．则这100条直线的交点个数最多为.4、若将半径为12cm四个篮球在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大高度是cm.5、若抛物线xy22的焦点是F，准线是l，点(2,)Mm是抛物线上一点，则经过点MF、且与l相切的圆一共有个.6、若直线20(0,0)axbyab和函数log(2)2(0cyxc且1)c的图象恒过同一个定点，则11ab的最小值为.7、若sincoslncoslnsinee，且0,2，则角的取值范围是.8、已知半径分别为2,3的两圆外切于T，直线MN为此两圆的外公切线且,MN分别为切点，则MTNT．欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》二、解答题（第9小题16分，第10小题20分，第11小题20分，共56分）9、已知椭圆22221(0)xyabab，过坐标原点O的直线l交椭圆于A、B两点，C是椭圆上的一点，且满足OAOCOBOC．（１）求证：2211OAOC是定值；（２）求ABC面积的最小值.10、已知数列na满足12111,6,44(2)nnnaaaaan。（１）求数列na的通项公式；（２）求数列na的前n项和nS.11、已知,,abc是RtABC的三边，c为斜边，若3332()abcycabc，求y的取值范围.欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》解答1、方程()8fx有三个不同的实根，即函数2223yxaxa的图象与直线8y有三个交点，由图象知，222()82382faaaaa.2、因为19lg0,kk1099lg1,kk100999lg2,10002010lg3kkkk所以lg1lg2lg3lg20109019002101134923.3、100条直线任意两条的组合有2100C,其中编号为4()kkN的直线互相平行，编号为41k的直线都过定点A，所以这100条直线的交点个数最多为222100252514351CCC.4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，其中球心相连形成棱长为24cm的四面体，此四面体的高为86cm，所以能堆放的最大高度应是2486cm.5、因为点(2,)Mm在抛物线22yx上，所以2m，即(2,2)M，又焦点1,02F,由抛物线的定义知，过点MF、且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点MF、且与l相切的圆共有四个.6、因为函数log(2)2cyx的图象恒过点1,2，故220ab，即112ab.又因为0,0,ab所以111113322222baabababab，欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》等号当且仅当2ab时成立.7、由sincossincoslncoslnsinlnsinlncoseeee，设()lnxfxex，则(sin)(cos)ff，因为函数()lnxfxex在0,上是增函数，所以sincos0，又因为(0,2)，故35337,,,,42244224.8、如图,,CD的半径分别为2,3.设MCT,则NDT,因为直线MN与,CD相切于,MN,所以NMCTD,2222NMTMNTNMTMNTMTN,由22223222222222222cos33233cos()63(32)(32)MTNTMTNTMTNTMNMN.注:也可用坐标法或平面几何法.9、由()0OAOCOBOCOCOAOB0OCABOCAB又点O、A、B同为直线l上的三点，所以OCOA.（1）设12,,OArOCrxOA,则2xOC.于是点A、C的坐标分别为1122cos,sin,cos(),sin()22rrrr.欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》因为点A在椭圆上,所以2222112222222222222221222222222212cossin1cos()sin()2211cossin,1sincos.1111,rrabrrabrabrabrrab故2211OAOC是一个定值.(2)121.2ABCSABOCOAOCrr由(1)得221222222212221111222,11abrrabrrabab当12rr,即当A、B、C三点共圆时等号成立。故ABC面积的最小值是22222.abab10、（1）因为12111,6,44(2)nnnaaaaan，所以11121111122(2),242421111(1)1()2222222(21)2nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaannanan（2）由（1）知：22113252(23)2(21)2nnnSnn①①2：231223252(23)2(21)2nnnSnn②①②:欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》23121122222222(21)22(12)1(21)2(32)2312(23)23nnnnnnnnSnnnSn即(23)23()nnSnnN.11、因为,,abc是RtABC的三边，c为斜边，所以222abc.令cos(0)sin2acbc,所以3333333222222cossincossin1(cossin)(cossin1)(cossin)(coscossinsin)1(cossin1)(cossin)(1cossin)1(cossin1)cccycccc又令cossinx，因为02,所以cossin2sin()1,2,4x21cossin2x于是23222221(1)1232(1)2(1)(2)(1)22(1)2(1)(2)(1)112(1)2xxxxyxxxxxxxxxxxxx显然112yx在1,2x上是减函数,所以211,22y，此即为y的取值范围.