2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题

12010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分满分70分）1．计算111lim[(1)]2nnnnnnnn2．计算22222exp[]2(1)Rxxyydxdy3．请用,ab描述圆222xyy落在椭圆22221xyab内的充要条件。并求此时椭圆的最小面积。4．已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面:10axbycz上，设在上围成的面积为A，求()()()bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz，其中n与的方向成右手系。5．设f连续，满足220()12()xxtfxxeftdt，且1(1)1fe，求()(1)nf。二、（本题满分20分）定义数列{}na如下：11101,max{,},2,3,4,2nnaaaxdxn，求limnna。三、（本题满分20分）设函数2()fCR，且lim()0,|()|1xfxfx，证明：lim()0xfx四、（本题满分20分）设非负函数f在[0,1]上满足,,()()()xyfxyfxfy且(1)1f，证明（1）()2,[0,1]fxxx；（2）101()2fxdx。五、（本题满分20分）设全体正整数集合为N，若集合GN对加法封闭（即,xyGxyG），且G内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当nN时，nG。2（工科类）一、计算题（每小题14分满分70分）1．计算111lim[(1)]2nnnnnnnn2．计算22(1)(22)dxxxx3．设ABC为锐角(含直角)三角形，求sinsinsincoscoscosABCABC的最大值和最小值。4．已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面:10axbycz上，设在上围成的面积为A，求()()()bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz，其中n与的方向成右手系。5．设f连续，满足220()()xxtfxxeftdt，求(1)3(1)ff的值。二、（本题满分20分）定义数列{}na如下：11101,max{,},2,3,4,2nnaaaxdxn，求limnna。三、（本题满分20分）设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿直线2:cos,sin,(0)Lxtytztt向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致，若圆盘半径()rt随时间改变，有32()rtt，求在时间段1[0,]2内圆盘所扫过的空间体积。四、（本题满分20分）定义数列{}na如下：11101,max{,},2,3,4,2nnaaaxdxn，求limnna。五、（本题满分20分）证明：222tan2sin3,(0,)2xxxx。3（经管类）一、计算题（每小题14分满分70分）1．计算2lim()1nnnnn2．计算2(1sincos)cosxexxdxx3．设ABC为锐角(含直角)三角形，求sinsinsincoscoscosABCABC的最大值和最小值。4．设[]x为小于等于x的最大整数，{(,)|13,24}Dxyxy，求[]Dxydxdy。5．设f连续，满足20()()xxtfxxeftdt，求(0)f。二、（本题满分20分）如图设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切，记A为等边三角形的面积，nA为n排圆的面积之和，求limnnAA。三、（本题满分20分）设()()xfxePx，其中()Px为5次多项式，证明（1）()fx必有极值点；（2）()fx必有奇数个极值点。四、（本题满分20分）证明：222210,txxxedtex。五、（本题满分20分）定义数列{}na如下：11101,max{,},2,3,4,2nnaaaxdxn，求limnna。