2010年考研数学二真题及答案

2010考研数学二真题及答案一、选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxfA0B1C2D3详解：222111)(xxxxxf有间断点1,0x202001111)1)(1()1()(limlimlimxxxxxxxxfxxx，111,1112020limlimxxxxxx所以0x为第一类间断点221121)(lim1xfx，所以1x为连续点21111)1)(1()1()(limlimxxxxxxfxx，所以1x为无穷间断点。所以选择B。2.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则A21,21B21,21C31,32D32,32详解：因21uyy是0)(yxPy的解，故0))(()2121uyyxPuyy（所以0)())((2211uyyuyxPy而由已知qyxPyqyxPy2211)(,)(所以0)()(xqu又21uyy是非齐次)()(xqyxPy的解；故)())(()(2121xquyyxPuyy所以)()()(xqxqu所以21u。3.aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2A4eB3eC2eDe详解：因2xy与)0(lnaxay相切，故212axxax在2xy上，2ax时，2ln212lnaaaay在)0(lnaxay上，2ax时，2lnaay2ln21aaeaeaaaaa2212ln2ln22所以选择C4.设,mn为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性A仅与m取值有关B仅与n取值有关C与,mn取值都有关D与,mn取值都无关详解：dxxxmdxxxmdxxxmnnn12122102102)1(ln)1(ln)1(ln，其中dxxxmn2102)1(ln在0x是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性与n有关，而dxxxmn1212)1(ln在1x是瑕点，由于0)1(ln)1(21limnxxxmx，其中是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意m，都有dxxxmn1212)1(ln收敛，与m无关。故选B。5.设函数(,)zzxy由方程(,)0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20,F则zzxyxy=AxBzCxDz详解：221222211)()(FxzFxyFxFxzFxyFFFyzzx，212111FFxFxFFFyzzyzFzFFFyFFzFyyzyxzx22212216.(4)2211lim()()nnxijnninj=A12001(1)(1)xdxdyxyB1001(1)(1)xdxdyxyC11001(1)(1)dxdyxyD112001(1)(1)dxdyxy详解：ninjxninjxnjnninnjninn11221122)(1)1())((limlimdyyxdxnjninninjx102102112)1)(1(1)(11111lim7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI21r21II,,:，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则srB若向量组I线性相关，则rsC若向量组II线性无关，则srD若向量组II线性相关，则rs详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以)()(IIrIr，即srrsr),,(),,(11若向量组I线性无关，则rrr),,(1，所以srrsr),,(),,(11，即sr，选（A）。8.设A为4阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为3,则A相似于A1110B1110C1110D1110详解：设为A的特征值，由于,02AA所以02，即0)1(，这样A的特征值为-1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A，,3)()(rAr因此，0111，即0111~A。二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022yyyy的通解y=__________详解：022yyyy，对应方程为,022230)2()2(2，0)1)(2(2，2，i所以通解为xCxCeCxsincos322110.曲线1223xxy的渐近线方程为_______________详解：21222limxxxx，0122221223323limlimxxxxxxxxx，所以xy211.函数__________)0(0)21ln()(nynxxy阶导数处的在详解：由麦克劳林展开有：,!21)1(1nnnnxnfxn!02nfnnn，!120nfnn12.___________0的弧长为时，对数螺线当er详解：x0，er。1220022ededee13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________详解：设,,tywtxl由题意知，在0tt时刻120tx，50ty，且3,200tytx，又tytxtS22，所以tytxtytytxtxtS22所以351235212220202000tytxtytytxtxtS14.设A，B为3阶矩阵，且__________,2,2,311BABABA则详解：由于ABBABEBBAA1111，所以11111BBAABBAABA因为,2B所以2111BB，因此32123111BBAABA。三解答题15.的单调区间与极值。求函数2212)()(xtdtetxxf16.(1)比较10ln[ln(1)]nttdt与10ln(1,2,)nttdtn的大小,说明理由.(2)记10ln[ln(1)](1,2,),nnuttdtn求极限lim.nxu17.设函数y=f(x)由参数方程。求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1(2)()1(),(,2222ttdxydtttyttx18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b23时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为3/mkg）19.0,,.05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数20.}.40,sec0),(D,2cos1sin22rrdrdrrID｛其中计算二重积分21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1,21(),21,0(22ff使得22.的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA)2(.12.11,110101123.设0431410aaA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第一列为T)1,2,1(61，求a、Q.答案：BACDBDAD9.xCxCeCxsincos322110.y=2x11.)!1(2nn12.)1(2e13.3cm/s14.3三解答题15..1,0,2)(,)(),,()(2222221112xdtexxfdttedtexxfxfxtxtxt所以驻点为由于的定义域解：列表讨论如下：x)1,(-1(-1,0)0(0,1)1(1,+))(xf-0+0-0+)(xf极小极大极小).1(21)0(,0)1(101--101-)(1102edtteffxft极大值为）；极小值为，）及（，（），单调递减区间为，）及（，的单调增加区间为（因此，16.0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)]1[ln(ln0)1()2(.ln)]1[ln(ln,ln)]1[ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：17.).123)(,0,25)1(.23)(3)().1(3)(,0,6)().3)(1(])1(3[),1(3t11),().1(3)(t11)()143)1(4)()()1(,)143)1(4)()()1()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222ttttCCttdtttttttCtuCttCdteteutuututttttttttdxydtttttttttdxydttdxdytdttdtt（于是知由于是知由有设从而，，（故（由题设18解：.)4332()43621()SS(),436()2cos1(2cossin12S,cos,sin,12SS.21SS.121606022202222112222ablplpababablpabdttabtdttabtdtbdytbydybyaxabbyaxb于是油的质量为则设，则轴上方阴影部分的面积是位于记为下半椭圆面积，则记椭圆所围成的图形。图中阴影部分为油面与油罐底面椭圆方程为如下图建立坐标系，则y19解：.2,5252,2,5252,22,08)(12105252,22,252,5220412504125.0)4125(]8)(1210[)4125.2,,2,2222222222222222222222222bababababaabbababababbaaubbubaabuaaubuabuaxuubuayuuuuxuuuxu或故，舍去由