2010年高考数学(文)试题及答案(福建卷)

中国权威高考信息资源门户年高考试题数学试题（文史类）-福建卷第I卷（选择题共60分）1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于A{x|2＜x≤3}B{x|x≥1}C{x|2≤x＜3}D{x|x＞2}2.计算1－2sin222.5°的结果等于A.1/2B./2C/3D/23.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积．．．等于A.B.2C.2D.64.i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于A.iB.-iC.1D.-15.若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于A.2B.3C.5D.96.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于A.2B.3C.4D.57.函数f（x）=的零点个数为A.2B.2C.1D.08.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的A.充分而不必要B.必要而不充分C充要条件D.既不充分也不必要条件9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5B.91.5和92C91和91.5D.92和92中国权威高考信息资源门户（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能．．．等于A.4B.6C.8D.1211.若点O和点F分别为椭圆x2/4+y2/3=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为A.2B.3C.6D.812.设非空集合S=={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2，则1/4≤l≤1；③l=1/2，则－/2≤m≤0其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若双曲线x2/4－y2/b2=1(b＞0)的渐近线方程为y=±1/2x，则b等于.14.将容量为n的样本中的数据分成6组.绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于.15.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.16.观察下列等式：①cos2α=2cos2α－1；②cos4α=8cos4α－8cos2α+1；中国权威高考信息资源门户③cos6α=32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α=128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α=mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1；可以推测，m－n+p=.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）数列{an}中，a1=1/3，前n项和Sn满足Sn+1－Sn=（1/3）n+1(n∈)N*.（I）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn（II）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值.18.（本小题满分12分）设平面向量am=（m，1），bn=（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得am⊥（am－bn）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.19.（本小题满分12分）已知抛物线C的方程C：y2=2px（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。20.（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。（I）证明：AD∥平面EFGH；（II）设AB=2AA1=2a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.21.（本小题满分12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？中国权威高考信息资源门户（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（III）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知函数21()3fxxaxb的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32yx.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设224(2)22,1yxpx()()1mgxfxx是[2,)上的增函数.（ⅰ）求实数m的最大值；（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线()ygx围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.中国权威高考信息资源门户参考答案选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.A2.B3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.A10.B11.C12.D填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13.114.6015.②③16.962三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.解：(Ⅰ)由Sn+1－Sn=（13）n+1得111()3nna(n∈N*)；又113a，故1()3nna(n∈N*)从而11[1()]1133[1()]12313nnns(n∈N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)可得113S，249S，31327S从而由S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列可得：1413143()2()392739t，解得t=2.18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分12分.解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.(Ⅱ)由()mmnaab得221mmno，即2(1)nm.由于,mn｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率21()168PA.19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.解：（Ⅰ）将（1,-2）代入22ypx，所以2p.中国权威高考信息资源门户，其准线方程为1x.（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=－2x+t，由，得y2＋2y－2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8t，解得t≥－1/2.另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分解法一：（I）证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD￠平面EFGHEH平面EFGH∴AD//平面EFGH.（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB1·B1F）·B1C1=b/2·EB1·B1F∵EB12+B1F2=a2∴EB12+B1F2≤（EB12+B1F2）/2=a2/2,当且仅当EB1=B1F=/2a时等号成立从而V1≤a2b/4.故p=1-V1/V≥7/8解法二：（I）同解法一（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB1·B1F）·B1C1=b/2EB1·B1F设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB1=acosθ，B1F=asinθ故EB1·B1F=a2sinθcosθ=，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.从而中国权威高考信息资源门户∴p=1-V1/V≥=7/8，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.所以，p的最小值等于7/821.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S===故t=1/3时，Smin=，v==30即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇由题意可知，（vt）2=202+（30t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），化简得：v2=+900=400+675由于0＜t≤1/2，即1/t≥2,所以当1t=2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时。（Ⅲ）由（Ⅱ）知22400600900vtt，设1ut(0)u，于是224006009000uuv。（*）小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：2226001600(900)0,9000.vv解得15330v。中国权威高考信息资源门户的取值范围是(153,30)。解法二：（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。在RtOAC中，20cos30103OC，20sin3010AC。又30ACt,OCvt此时，轮船航行时间101303t，10330313v。即，小艇以303海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）同解法一22.本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。解法一：（Ⅰ）由2'()2fxxxa及题设得'(0)3(0)2ff即32ab。（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231mgxxxxx得22'()23(1)mgxxxx。()gx是[2,)上的增函数，'()gx0