2010年高考数学开放性与探究性问题求解

开放性与探究性问题求解[课前导引]04.D02C.24B.2.A)(,1,5]0,[),4()(5)(.12mmmmmmtftftaxxxf范围是的取值则最小值上有最大值且在闭区间都有任意对设二次函数第一课时：范围与轨迹的探究：[课前导引]04.D02C.24B.2.A)(,1,5]0,[),4()(5)(.12mmmmmmtftftaxxxf范围是的取值则最小值上有最大值且在闭区间都有任意对设二次函数B第一课时：范围与轨迹的探究：边上在边上或延长线上在外部在内部在的位置关系为与则点且及平面内一点、、的三个顶角已知ACPABPABCPABCPABCPABPCPBPAPCBAABC.DC.B..A)(,,.2[解析].,2,:DPAPCPAPBPCPBPA故选则由已知得[解析].,2,:DPAPCPAPBPCPBPA故选则由已知得[答案]D[考点搜索]1.探索点的位置及参量的取值范围往往是综合已知条件和所学知识点，根据转化或数形结合的思想进行探索，直到结论显然为止.2.在解决数列和恒成立的问题时，要根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个体总结出一般的规律，对普遍的规律任何个体都会满足.[链接高考].,0sin)1()1(cos,]1,0[22的取值范围试求恒成立不等式时已知当xxxxx[例1]sin)1()1(cos)(0,cos0,sin:10,22xxxxxfxx设由已知条件可知令[链接高考].,0sin)1()1(cos,]1,0[22的取值范围试求恒成立不等式时已知当xxxxx[法一][例1].1sin2cos222sin100sincos1:0cos0,sin)sincos1(4)sin21(sin)sin2cos22sin21)(sincos1(sin)sin21()sincos1(222可知由xxx)Z(1252122.212sin:0)sincos1(4)sin21(sin)(0cos0sin]1,0[2minkkkxfx所以可得恒成立知结合原不等式对任意sin41cos)sin21(sincossin)(0cossin,,10cos)1(sin)1(:),1,0(0,cos0,sin:10,2222ttttfttRttxxxxxxxxx令即令变为原不等式设由已知条件可知令[法二]).(1252122,212sin:0sin41cos)(minZkkktf所以解得).(1252122,212sin:0sin41cos)(minZkkktf所以解得[点评]从特殊的个体考察普遍的规律是高中阶段必须掌握的思维方式,本题先令x=0和x=1得到sin0,cos0,大大的缩小了的考察范围,为后面的解答提供的很大的方便.而解法二通过换元,使得式子更为规范.[例2]三个元素的集合？为含有为何值时当有两个元素的集合？为含（为何值时当问：设集合CBAaCBAayxyxCayxyxByaxyxA)(,)2(),)1(}.1|),{(},|),{(},1|),{(22.,3)().(,,01.)1,0(),1,0(,1.:,1:),()()()1(2121不符合共元素个公有则如图与圆相交切相与圆时当恒过点是定点系直线中在设CBAlClaCAyaxAayxlyaxlCBCACBA[解析]P1P2P3yxl1l2.)(122.112,,),(,,,0222121有两个元素或或或的距离为设圆心到合重与或者如图相离与圆则个元素有两相交与圆时当CBAaaaaaddlllClCAClayxl1l2d).(,),(,,02.)1(,01.3)()2(1221如下图上一个交点在且其中相交与圆或如上图与圆相切则交于不同的两点相与圆时当知满足由时当个元素有要使lCllClaaCBAyxl1l2dyxl1l2,12,1112:)11,12(.)1(,1:,)1,0(,23222222221aaaaaaaaalaaaaalCla代入将知舍去由解得代入为相交得两个交点与圆又yxl1l2dyxl1l2.)(,120.1,10)1)(1(,01223有三个元素时或或当CBAaaaaaaaaaayxl1l2dyxl1l2[例3]在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．(1)当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；(2)当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1－EF－C的大小．0))(()(),,(),,,()0,,(),0,,(),,,0(),,0,(,,,)1(1111111aaaxaaxEDFBaaxaEDaaxFBaxaFxaEaaDaaBxBEzyxAAADABA则有设轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、分别以为原点以[解析].,11EDFBFE在何位置均有、无论因此.,11EDFBFE在何位置均有、无论因此,.,24)2(6)2(1221的中点、分别为、这时的体积最大三棱锥时当CDBCFECEFCaxaaxaVCEFC.,:,,,1111的平面角是二面角由三垂线定理知则连接点于交连接CEFCGCCEFGCEFACGCGEFACGCCaCCaACGC11tan,,4241.22arctan,2211的大小为即二面角CEFCGCCC.22arctan,2211的大小为即二面角CEFCGCCC[点评]立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法..,}{,}{),2,(,)2(.,;}{,?)1().2,(242),(}{*21*211满足的条件、求实数等比数列是且项的和的前是数列设说明理由若不可能的通项公式出求若可能是否可能是等差数列数为常的首项已知数列baSnbSnNnnabbbanNnnnaaaaaannnnnnnnn[例4]343222288225421292222842),4,3,2(242,)1(34231234232211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnaaaann所以由已知条件[解析].}{.,0,;1,}{23342312是不可能是等差数列所以矛盾得由得则成等差数列，若nnaaaaaaaaaaaa.}{.,0,;1,}{23342312是不可能是等差数列所以矛盾得由得则成等差数列，若nnaaaaaaaaaaaa222112)1(2)1(4)1(2)1(,)2(nnnanabnabnnnnn因为224)2(222222aabnbnann时所以的等比数列是以公比为项起从第时，当2).12)(22(12)12)(22(.22,01111nababSbbannnnn),3(2,0,1.022,1222)1(222222)1(222)1(,)2(,}{121111nbbbaabaabaababaabaSSnSSSnnnnnnnnnn时当为常数是等比数列.01221,}{.0,}{,)2(0:21baababaSbSbbbbSnbnnnnn或的条件为满足、实数是等比数列综上是等比数列数列得[点评]本题是数列探究性问题，往往通过特殊的个体总结出一般的规律：(1)要否定一个结论，只要通过前面几项即可；(2)的证明必须对每一项都要满足，所以要对第一项进行检验.[方法论坛]解决任何一个数学问题都是综合题中的条件和结论运用适当的思维方式进行探究，相对其他的问题更注重思维性,主要有以下的思维方式：1.将题中的已知和结论都看作条件,有机地结合，推导出要证的结论或求出参量的范围.2.利用特殊和一般，个体和总体的辩证关系，通过个体来发现普遍的规律,再运用数学归纳法加以证明，或根据普遍的规律代入个体中，从而加强题目的条件，这样便于尽快解决问题.3.对于存在性问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾.若得出矛盾则说明不存在.4.条件或结论开放性问题，应发散自己的思维，结合所学的知识点进行分析，从而可寻找出所要补的条件和能得出的结论..|)()(:|,]1,1[,)3(;?,],1,1[)2(;,,,)1(.32)(1,),,,(42)(212123xfxfxxxdcbaxfxRdcbadcxbxaxxf求证时若试证明你的结论垂直相使得这两点处的切线互上是否存在两点图象当的值求取极小值时且的图象关于原点对称已知函数[例1]第二课时：存在性问题的探究：1,31,32033)(')(0,0,024242:)()(,)()1(2322323cacacacaxxfcxaxxfdbdbxdcxbxaxdcxbxaxxfxfRxxf解得且由已知得则所以恒成立即即有以对于任意的所的图象关于原点对称因为[解析]111)('.),(),,(],1,1[)2(22221122211xkxkxxfyxByxAx别为知两点处的切线斜率分则由相垂直使得这两点处的切线互假设图象上存在两点垂直得这两点处的切线互相图象上不存在两点使当即不存在故假设不成立矛盾这与则所以又因为且,1)1)(1(0)1)(1(0)1(,0)1(],1,1[,;1)1)(1(222122212221212221xxxxxxxxxx343232|)()(|,]1,1[,,32|)(|,]1,1[,32)1()(,32)1()(,]1,1[;)(,0)(',)1,1()1)(1(1)(':)3(2121minmax2xfxfxxxffxffxfxxfxfxxxxxf时于是上所以在时则当为减函数这时时而因为证明第(2)的探索体现了存在性问题的探索的基本方法，若存在则能够由条件推出，若不存在则会推出矛盾;第(3)是函数中的不等式问题，往往会用到函数的单调性.[点评]1.开放性问题的背景是同一个条件可推出很多个结论，或同一个结论可与有多个条件推出，所以解决这类问题时要发散自己的思维;2.存在性问题是结论开放性的一种，解决存在性问题往往假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾.若得出矛盾则说明不存在.[考点搜索].;;,?,)2(;,31)1(1,3,,,,,6,411111111111111111请说明理由存在若不的位置确定若存在面使得存在点上是否在棱点的位置试确定的余弦值为若二面角的中点为面边长为的底已知正四棱柱PPMNQAPAAPAPMNNDMADCNBAMAAPCCQAADCBAABCDD1ABCDA1B1C1NPM[例2]ztxztytzyyxzy